Большой энциклопедический словарь:
ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ — геометрическое понятие, обобщающее понятие прямой (или отрезка прямой) евклидовой геометрии на случай пространств более общих, чем евклидово. Достаточно малые дуги геодезической линии на поверхности являются кратчайшими путями между их концами на этой поверхности. Напр., геодезические линии на круглом цилиндре — винтовые линии.
Математическая энциклопедия:
Геодезиче-ская,- геометрическое понятие, обобщающее понятие прямой (или отрезка прямой) евклидовой геометрии на случай пространств более общего вида. Определения Г. л. в различных пространствах зависят от того, какая из структур (метрика, линейный элемент, линейная связность) лежит в основе геометрии рассматриваемого пространства. В геометрии тех пространств, где метрика считается заданной априори, Г. л. определяют как локально кратчайшие. В пространствах со связностью Г. л. определяют как кривые, у к-рых касательный вектор остается касательным при параллельном перенесении вдоль кривой. В римановой и финслеровой геометриях, где первоначально задается линейный элемент (иначе говоря,- метрика в касательном пространстве в каждой точке рассматриваемого многообразия), а длины кривых получаются последующим интегрированием, Г. л. определяют как экстремали функционала длины кривой. Впервые Г. л. изучались И. Бернулли (J. Bernoulli) и Л. Эйлером (L. Euler) при отыскании кратчайших на регулярных поверхностях в евклидовом пространстве. На таких линиях обращается в нуль геодезическая кривизна;главная нормаль этих кривых параллельна нормали к поверхности. При изгибаниях Г. л. сохраняются. Движение консервативной механич. системы с конечным числом степеней свободы описывается Г. л. в соответственно подобранном римановом пространстве. В римановых пространствах Г. л. изучены наиболее полно. Пусть Mn есть n-мерное риманово пространство с метрич. тензором класса . Определение Г. л. как экстремали позволяет написать ее дифференциальные уравнения в произвольных локальных координатах , при любой параметризации : где Другая эквивалентная форма уравнений Г. л. выводится из требования параллельности переноса вдоль касательного вектора Если t есть длина s дуги вдоль Г. л. или линейная функция от s, то Определение Г. л. уравнением (1) включает и канонич. выбор параметра. При таком определении через каждую точку проходит Г. л. с начальным касательным вектором Отображение касательного пространства в точке в изучаемое пространство есть экспоненциальное отображение с полюсом . Вблизи начальной точки х 0 — диффеоморфизм, вводящий в изучаемом пространстве римановы координаты. Ряд свойств Г. л. сохраняется у кривых, определяемых уравнениями 2-го порядка если, подобно (1), функция F — однородная 2-й степени по Определение таких уравнений в терминах касательных расслоений приводит к понятиям пульверизации и их интегральных кривых. Частным случаем последних являются Г. л. (см. [2]). Поведение Г. л. в малом похоже на поведение прямых в евклидовом пространстве. Достаточно малая дуга Г. л. является кратчайшей среди всех спрямляемых кривых с теми же концами. Через любую точку в любом направлении проходит единственная Г. л. У каждой точки есть окрестность U, в к-рой любые две точки соединимы единственной Г. д., не выходящей из U(см. [3]). Вопрос о том, как далеко можно продолжить из точки х 0 дугу Г. л., чтобы она оставалась кратчайшей по сравнению с близкими к ней кривыми, составляет одну из задач вариационного исчисления. Сравнение Г. л. с близкими кривыми основано на изучении второй вариации длины, к-рая исследуется путем рассмотрения поля скоростей ( Якоба поле).в точках Г. л. при варьировании . При любом фиксированном tкривая остается геодезической, а параметр s на ней — каноническим. Если в начале кривой скорость равна нулю, то те точки кривой , где эта скорость при каком-либо ненулевом поле Якоби оказывается нулем, наз. сопряженными точками. Г. л. остается кратчайшей по сравнению с близкими кривыми до первой сопряженной точки. Для дуги Г. л., продолженной за сопряженную точку, существует сколь угодно близкая более короткая кривая с теми же концами. Поле Якоби удовлетворяет уравнению где — касательный вектор геодезической , а — кривизны преобразование, или, в координатах Ферми где — тензор кривизны. Связь поля Якоби с кривизной обусловливает зависимость свойств геодезических от кривизны пространства. Напр., в пространствах отрицательной кривизны сопряженных точек нет; если пространство еще и односвязно, то любая дуга Г. л.- кратчайшая, а выходящие из точки Г. л. экспоненциально расходятся. Эти свойства играют роль в теории динамич. систем (см. Геодезический поток). Монотонность влияния кривизны является предметом ряда так наз. теорем сравнения. В частности, расстояние до первой сопряженной точки и длины векторов поля Якоби на этом участке (нормированных требованием ) убывают с ростом кривизны пространства. Здесь подразумевается сравнение двух Г. л., в соответствующих по длине точках к-рых все кривизны второго пространства мажорируют любую из кривизн первого пространства [4]. В общей теории относительности уравнение (2) служит источником физического истолкования кривизны пространства-времени через поведение Г. л. (см. [5]). При отказе от сравнения только с близкими кривыми дуга Г. л. может перестать быть кратчайшей раньше, чем пройдет сопряженную точку. Это возможно даже в односвязном пространстве, т. е. причины этого могут быть топологическими и метрическими. Вопрос о том, как влияет кривизна на протяженность дуги, на к-рой Г. л. остается кратчайшей, играет существенную роль в изучении связей кривизны с то-пологич. строением пространства. Зависимость количества замкнутых Г. л. или количества разных Г. л., соединяющих две точки, от топологич. строения пространства составляет предмет вариационного исчисления в целом (СМ. [6], [4], [7]). Семейства Г. л., рассматриваемые как возможные траектории движения, являются предметом теории динамич. систем и эргодич. теории. В пространствах аффинной связности Г. л. определяются уравнением (1). Для них сохраняются локальные теоремы существования и единственности Г. л., соединяющих две точки, и существования выпуклой окрестности. Г. л. с аналогичными свойствами определяются и в пространствах проективной связности, а также в случае более общих связностей на многообразиях. Геометризацня задач вариационного исчисления для функционалов, отличных от длины кривой, привела к понятию финслерова пространства и Г. л. в нем. Выделение основных геометрических свойств подобных пространств привело к понятию геодезических геометрии, которое определяется наличием и продолжаемостью Г. л. Из метрич. пространств с нерегулярной метрикой наиболее изучены Г. л. на выпуклых поверхностях и в двумерных многообразиях ограниченной кривизны. Здесь Г. л. не обязательно гладкая кривая; Г. л. может не иметь продолжения, а в двумерном многообразии ограниченной кривизны может также иметь неединственное продолжение. Г. л. на выпуклой поверхности всегда имеют полукасательную; если продолжается, то только единственным образом; из точки Г. л. исходят почти во всех направлениях. В таких пространствах более естественным, чем Г. л., оказался класс квазигеодезических линий, к-рые служат замыканием класса геодезических (см. [8]). Лит.:[1] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [2] Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967; [3] Хелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [4] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В..Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971; [5] Синг Дж. Л., Общая теория относительности, пер. с англ., М., 1963; [6] Люстерник Л. А., Шнирельман Л. Г., Топологические методы в вариационных задачах, М., 1930; [7] Милкор Дж., Теория Морса, пер. с англ., М., 1963; [8] Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.-Л., 1948. Ю.
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона:
Г. линией на поверхности мы называем такую линию, главные нормали всех точек которой совпадают с нормалями к поверхности.
Если уравнение поверхности в прямоугольных координатах будет f(х, у, z) = 0, то два дифференциальных уравнения Г. линии будут иметь вид:
[d(dx/ds)]/(df/dx) = [d(dy/ds)]/(df/dy) = [d(dz/ds)]/(df/dz), где ds = [dx2 + dy2 + dz2].
К тем же дифференциальным уравнениям мы придем, если поставим себе задачу найти кратчайшую линию на поверхности между заданными на этой поверхности двумя точками, а потому можем сказать, что кратчайшей линией на поверхности между двумя точками будет часть Г. линии, проходящей через эти точки. Обратное заключение не всегда справедливо, ибо иногда часть геодезической линии, проходящей через две заданные на поверхности точки, заключенная между этими точками, может не быть кратчайшей, что можно видеть из следующего простого примера. Возьмем шар; на нем, как известно, геодезической линией будет дуга большого круга. Пусть даны две точки, не лежащие на концах одного и того же диаметра; через эти две точки можно провести только одну дугу большого круга. На этой дуге точки отделяют две части: меньше 180° и больше 180°. Первая часть есть кратчайшая кривая на шаре между двумя точками; вторая же, будучи частью Г. линии, лежащей между заданными точками, не обладает указанным свойством. На плоскости Г. линия совпадает с кратчайшей, т. е. с прямой. Для получения уравнения Г. линии в конечном виде необходимо интегрировать написанные выше уравнения. Для геодезии важен случай кратчайшей линии на эллипсоиде, решенный известным математиком Якоби. В механике Г. линия играет важную роль: по ней движется точка, долженствующая оставаться на поверхности в том случае, когда на точку не действуют никакие внешние силы.
Д. Гр.
© «СловоТолк.Ру» — толковые и энциклопедические словари, 2007-2020