Толковый словарь Ефремовой:
многоугольник м.
Геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой образуют более четырёх углов.
Толковый словарь Ушакова:
МНОГОУГО́ЛЬНИК, многоугольника, ·муж. (мат.). Плоская фигура, ограниченная тремя, четырьмя и т.д. прямыми линиями.
Большой энциклопедический словарь:
МНОГОУГОЛЬНИК (на плоскости) — геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой называются сторонами многоугольника, а их концы — вершинами многоугольника. По числу вершин различают треугольники, четырехугольники и т. д. Многоугольник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от прямой, несущей любую из его сторон, и невыпуклым — в противном случае. Многоугольник называется правильным, если все его стороны и углы равны.
Большая советская энциклопедия:
Многоугольник
Замкнутая ломаная линия. Подробнее, М. — линия, которая получается, если взять n любых точек A1, A2, ..., An и соединить прямолинейным отрезком каждую из них с последующей, а последнюю — с первой (см. рис. 1, а). Точки A1, A2, ..., An называются вершинами М., а отрезки A1A2, А2А3, ..., An-1An, AnA1 — его сторонами. Далее рассматриваются только плоские М. (т. е. предполагается, что М. лежит в одной плоскости). М. может сам себя пересекать (см. рис. 1, б), причём точки самопересечения могут не быть его вершинами.
Существуют и другие точки зрения на то, что считать М. Многоугольником можно называть связную часть плоскости, вся граница которой состоит из конечного числа прямолинейных отрезков, называемых сторонами многоугольника. М. в этом смысле может быть и многосвязной частью плоскости (см. рис. 1, г), т. е. такой М. может иметь «многоугольные дыры». Рассматриваются также бесконечные М. — части плоскости, ограниченные конечным числом прямолинейных отрезков и конечным числом полупрямых.
Дальнейшее изложение опирается на данное выше первое определение М. Если М. не пересекает сам себя (см., например, рис. 1, а и б), то он разделяет совокупность всех точек плоскости, на нем не лежащих, на две части — конечную (внутреннюю) и бесконечную (внешнюю) в том смысле, что если две точки принадлежат одной из этих частей, то их можно соединить друг с другом ломаной, не пересекающей М., а если разным частям, то нельзя. Несмотря на совершенную очевидность этого обстоятельства, строгий его вывод из аксиом геометрии довольно труден (т. н. теорема Жордана для М.). Внутренняя по отношению к М. часть плоскости имеет определённую площадь. Если М. — самопересекающийся, то он разрезает плоскость на определённое число кусков, из которых один бесконечный (называемый внешним по отношению к М.), а остальные конечные односвязные (называются внутренними), причём граница каждого из них есть некоторый самонепересекающийся М., стороны которого есть целые стороны или части сторон, а вершины — вершины или точки самопересечения данного М. Если каждой стороне М. приписать направление, т. е. указать, какую из двух определяющих её вершин мы будем считать её началом, а какую — концом, и притом так, чтобы начало каждой стороны было концом предыдущей, то получится замкнутый многоугольный путь, или ориентированный М. Площадь области, ограниченной самопересекающимся ориентированным М., считается положительной, если контур М. обходит эту область против часовой стрелки, т. е. внутренность М. остаётся слева от идущего по этому пути, и отрицательной — в противоположном случае. Пусть М. — самопересекающийся и ориентированный; если из точки, лежащей во внешней по отношению к нему части плоскости, провести прямолинейный отрезок к точке, лежащей внутри одного из внутренних его кусков, и М. пересекает этот отрезок р раз слева направо и q раз справа налево, то число р — q (целое положительное, отрицательное или нуль) не зависит от выбора внешней точки и называется коэффициентом этого куска. Сумма обычных площадей этих кусков, помноженных на их коэффициенты, считается «площадью» рассматриваемого замкнутого пути (ориентированного М.). Так определяемая «площадь замкнутого пути» играет большую роль в теории математических приборов (планиметр и др.); она получается там обычно в виде интеграла (в полярных координатах , ) или ydx (в декартовых координатах х, у), где конец радиус-вектора или ординаты y один раз обегает этот путь.
Сумма внутренних углов любого самонепересекающегося М. с n сторонами равна (n — 2)180°. М. называется выпуклым (см. рис. 1, а), если никакая сторона М., будучи неограниченно продолженной, не разрезает М. на две части. Выпуклый М. можно охарактеризовать также следующим свойством: прямолинейный отрезок, соединяющий любые две точки плоскости, лежащие внутри М., не пересекает М. Всякий выпуклый М. — самонепересекающийся, но не наоборот. Например, на рис. 1, б изображен самонепересекающийся М., который не является выпуклым, т. к. отрезок PQ, соединяющий некоторые его внутренние точки, пересекает М.
Важнейшие М.: треугольники, в частности прямоугольные, равнобедренные, равносторонние (правильные); четырёхугольники, в частности трапеции, параллелограммы, ромбы, прямоугольники, квадраты. Выпуклый М. называется правильным, если все его стороны равны и все внутренние углы равны. В древности умели по стороне или радиусу описанного круга строить при помощи циркуля и линейки правильные М. только в том случае, если число сторон М. равно m = 3 · 2n, 4 · 2n,5 · 2n, 3 · 5 · 2n, где n — любое положительное число или нуль. Немецкий математик К. Гаусс в 1801 показал, что можно построить при помощи циркуля и линейки правильный М., когда число его сторон имеет вид: m = 2n · p1 · p2 · ... · pk, где p1, p2, ... pk — различные простые числа вида (s — целое положительное число). До сих пор известны только пять таких р: 3, 5, 17, 257, 65537. Из теории Галуа (см. Галуа теория) следует, что никаких других правильных М., кроме указанных Гауссом, построить при помощи циркуля и линейки нельзя. Т. о., построение возможно при m = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 16, 17, 20, 24, 32, 34, ... и невозможно при m = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, ...
В приведённой ниже таблице указаны радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности и площадь правильного n-yгольника (для n = 3, 4, 5, 6, 8, 10), сторона которого равна k.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| n | Радиус описанной | Радиус вписанной | Площадь |
| | окружности | окружности | |
|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| 3 | | | |
|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| 4 | | | |
|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| 5 | | | |
|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| 6 | k | | |
|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| 8 | | | |
|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| 10 | | | |
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Начиная с пятиугольника существуют также невыпуклые (самопересекающиеся, или звездчатые) правильные М., т. е. такие, у которых все стороны равны и каждая следующая из сторон повёрнута в одном и том же направлении и на один и тот же угол по отношению к предыдущей. Все вершины такого М. также лежат на одной окружности. Такова, например, пятиконечная звезда. На рис. 2 даны все правильные (как выпуклые, так и невыпуклые) М. от треугольника до семиугольника.
Лит. см. при ст. Многогранник.
Рис. 1 к ст. Многоугольник.
Рис. 2 к ст. Многоугольник.
Толковый словарь Кузнецова:
многоугольник
МНОГОУГОЛЬНИК -а; м. Геометрическая фигура, ограниченная ломаной линией, звенья которой образуют более четырёх углов. Правильный м. Сторона многоугольника.
Малый академический словарь:
многоугольник
-а, м.
Геометрическая фигура, ограниченная ломаной линией, звенья которой образуют более четырех углов.
Правильный многоугольник.
Математическая энциклопедия:
1) Замкнутая ломаная линия, именно: если — различные точки, никакие последовательные три из к-рых не лежат на одной прямой, то совокупность отрезков наз. многоугольником (см. рис. 1). М. могут быть пространственными или плоскими (ниже рассматриваются плоские М.).2) Связная (многосвязная) область, граница к-рой состоит из конечного числа отрезков и является замкнутой ломаной линией (или состоит из нескольких замкнутых ломаных, в этом случае М. иногда наз. многоугольной фигурой, см. рис. 2). в смысле первого определения наз. одномерным М., а в смысле второго определения — двумерным М. Вершины ломаной линии (точки Ai )наз. вершинами М., отрезки — его сторонами. Две стороны, имеющие общую вершину, наз. смежными, а две вершины ломаной — концы одного отрезка ломаной — наз. смежными вершинами М. Если граница М. является простой ломаной линией, так что несмежные ее стороны не имеют общих точек (внутренних или концевых), то М. наз. простым. Если граница двумерного М. не является простой, то она наз. самопересекающейся (рис. 3) (самопересекающийся М.
Орфографический словарь Лопатина:
орф.
многоугольник, -а
Толковый словарь Ожегова:
МНОГОУГОЛЬНИК, а, м. В математике: геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией.
Научно-технический словарь:
МНОГОУГОЛЬНИК, плоская геометрическая фигура с тремя или более сторонами, пересекающимися в трех или более точках (вершинах). Они называются в соответствии с числом сторон или вершин: ТРЕУГОЛЬНИК (трехсторонний); ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК (четырехсторонний); ПЯТИУГОЛЬНИК (пятисторонний) и т.д. Многоугольник называют правильным, если все его стороны и углы равны.
Многоугольник Многоугольники — эго плоские многоугольные фигуры, сгороны и углы которых могут быть равны или неравны, в зависимости от чего они имеют симметричную или асимметричную форму. Самой простой фигурой является равносторонний треугольник (А,), у которого все сгороны и все углы равны У равнобедренного треугольника (А2) две стороны равны,в то время.как у неправильного треугольника (А,) все стороны имеют разную длину. Самым простым четырехугольником (В[)является квадрат, четырехугольник с равными сторонами и равными внутренними углами. У прямоугольника (В,) противолежащие стороны, а также все внутренние углы равны. У параллелограмма (В3) противолежащие стороны равны и параллельны, и также равны противолежащие внутренние углы, У трапеции (В4) только две параллельных стороны. У правильного пятиугольника (С) имеется пять равных сторон и углов,а у правильного шестиугольника (D) — шесть.
Грамматический словарь Зализняка:
Многоугольник, многоугольники, многоугольника, многоугольников, многоугольнику, многоугольникам, многоугольник, многоугольники, многоугольником, многоугольниками, многоугольнике, многоугольниках
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона:
В элементарной геометрии М. называется фигура, ограниченная прямыми линиями, называемыми сторонами. Точки, в которых стороны пересекаются, называются вершинами. Число вершин равняется числу сторон. Смотря по этому числу, М. называются: треугольниками, четырехугольниками и т. д. Прямые, соединяющие не соседние вершины М., называются диагоналями. Сумма внутренних углов М. равна двум прямым углам, повторенным. столько раз, сколько М. имеет углов без двух. Если стороны М. равны между собою и углы равны между собою, то такой М. называется правильным. М., все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным. М., все стороны которого касательны к окружности, называется по отношению к этой окружности описанным. Сумма сторон М. называется его периметром. Перпендикуляр, опущенный из центра вписанного круга на одну из сторон правильного М., называется апофемою. Площадь правильного М. равна половине произведения периметра на апофему. В высшей геометрии простым п-угольником называется группа n точек плоскости и n прямых, соединяющих эти точки в данной последовательности. Полным п-угольником называется группа n точек плоскости со всеми прямыми, соединяющими эти точки. Другими словами: полный n-угольник состоит из простого n-угольника и из всех его диагоналей. Число сторон полного n угольника
равно [n(n—1)]/2.
Н. Делоне.
© «СловоТолк.Ру» — толковые и энциклопедические словари, 2007-2020