Определение слова «группа»

Толковый словарь Ефремовой:

группа
I ж.
1. Несколько человек, животных, растений, предметов, находящихся вместе или близко друг к другу.
2. Совокупность лиц, объединенных общей профессией, какой-либо деятельностью или общностью интересов, взглядов.
3. Совокупность тех или иных веществ, предметов, явлений, объединенных общностью признаков, свойств.
II ж. разг.
Объединение музыкантов, исполняющих поп-музыку; поп-группа.

Толковый словарь Ушакова:

ГРУ́ППА, группы, ·жен. (·нем. Gruppe).
1. Несколько предметов или людей, находящихся поблизости друг к другу. Группа островов. Группа деревьев. Рабочие расходились группами.
2. Совокупность лиц, объединенных общностью идеологии (научной, художественной, политической), или профессии, или социальных условий (·книж. ). Общественная группа. Литературная группа "Молодая гвардия". Группа народовольцев.
3. Объединение нескольких лиц для каких-нибудь общих занятий. Группа для изучения английского языка.
| То же, что класс, отделение в средней школе (неол.). Младшая группа.
4. Общий фотографический снимок нескольких лиц. Сняться группой.

Большой энциклопедический словарь:

ГРУППА (от нем. Gruppe) — понятие современной математики. Возникло из рассмотрения совокупности операций, производимых над какими-либо объектами и обладающих тем свойством, что результат последовательного применения двух или большего числа операций из этой совокупности равносилен какой-то одной операции из этой совокупности. Пример: умножение на рациональные числа (умножение сначала на m, а потом на n равносильно умножению на mn). Оказалось, что в наиболее важных случаях выполняются следующие условия:
1) в совокупность входит единичная, или тождественная, операция, не изменяющая объект;
2) для каждой операции существует обратная операция, действие которой противоположно;
3) для операций всегда выполняется сочетательный закон. Совокупности операций с указанными свойствами и называются группами операций или же группами преобразований. Рассматриваются также и группы объектов другой природы, напр. группы чисел. Понятие группы нашло многочисленные приложения в физике."ГРУППА 47" (по году основания — 1947) — объединение западногерманских писателей. В 50-х гг. творчество ее членов (Х. В. Рихтер, Г. Белль, Г. Айх и др.) способствовало становлению антифашистских и социально-критических тенденций в литературе ФРГ. Члены группы не придерживались единой политической и эстетической позиции. В нач. 70-х гг. группа распалась.

Большая советская энциклопедия:

I
Группа
одно из основных понятий современной математики. Теория Г. изучает в самой общей форме свойства действий, наиболее часто встречающихся в математике и её приложениях (примеры таких действий — умножение чисел, сложение векторов, последовательное выполнение преобразований и т. п.). Общность теории Г., а вместе с тем и широта её приложений обеспечиваются тем, что она изучает свойства действий в их чистом виде, отвлекаясь как от природы элементов, над которыми выполняется действие, так и от природы самого действия. В то же время теория Г. изучает не совсем произвольные действия, а лишь те, которые обладают рядом основных свойств, перечисляемых в определении Г. (см. ниже).
К понятию Г. можно прийти, например, исследуя симметрию геометрических фигур. Так, квадрат (рис. a) представляется симметричной фигурой, так как, например, его поворот j около центра на 90° по часовой стрелке или Зеркальное отражение y относительно диагонали AC не изменяют его положения; всего существует 8 различных движений (См. Движение), совмещающих квадрат с собой. Для круга (рис. б) таких движений, очевидно, уже бесконечно много — таковы, например, все его повороты около центра. А для фигуры, изображенной на рис. в, существует лишь одно движение, совмещающее её с собой, — тождественное, т. е. оставляющее каждую точку фигуры на месте.
Множество G различных движений, самосовмещающих данную фигуру, и служит характеристикой большей или меньшей её симметричности: чем больше множество G, тем симметричнее фигура. Определим на множестве G композицию, т.е. действие над элементами из G, по следующему правилу: если j,y — два движения из G, то результатом их композиции (иногда говорят «произведением» j и y) называется движение jy, равносильное последовательному выполнению сначала движения j , а затем движения y. Например, если j, y — движения квадрата, указанные выше, то — отражение квадрата относительно оси, проходящей через середины сторон AB и CD. Множество движений G, взятое с определённой на нём композицией, называется группой симметрии данной фигуры. Очевидно, композиция на множестве G удовлетворяет следующим условиям: 1) () = () для любых , , из G; 2) в G существует такой элемент , что = = для любого из G; 3) для любого из G существует в G такой элемент -1, что -1 =
-1 = . Действительно, в качестве можно взять тождественное движение, а в качестве -1 — движение, обратное , т. е. возвращающее каждую точку фигуры из нового положения в старое.
Общее (формальное) определение Г. таково. Пусть G — произвольное множество каких-нибудь элементов, на котором задана композиция (иначе: действие над элементами): для любых двух элементов , из G определён некоторый элемент снова из G. Если при этом выполняются условия 1), 2), 3), то множество G с заданной на нём композицией называется группой.
Например, если G — множество всех целых чисел, а композиция на G — их обычное сложение (роль будет играть число 0, а роль (-1 — число —), то G — группа. Часть Н множества G, состоящая из чётных чисел, сама будет Г. относительно той же композиции. В таких случаях говорят, что Н — подгруппа группы G. Отметим, что обе эти Г. удовлетворяют следующему дополнительному условию: 4) = для любых , из группы. Всякая группа с этим условием называется коммутативной, или абелевой.
Ещё один пример группы. Подстановкой множества символов 1, 2, ..., n называется таблица

где в нижней строчке стоят те же символы 1, 2, ..., n, но, вообще говоря, в другом порядке. Композицию двух подстановок , определяют следующим правилом: если под символом х в подстановке стоит символ у, а под символом у в подстановке стоит символ z, то в подстановке под символом х ставится символ z. Например,

Можно проверить, что множество подстановок n символов относительно такой композиции является группой. При n 3 она неабелева.
Историческая справка. Понятие Г. послужило во многих отношениях образцом при перестройке алгебры и вообще математики на рубеже 19—20 вв. Истоки понятия Г. обнаруживаются в нескольких дисциплинах, главная из которых — теория решений алгебраических уравнений в радикалах. В 1771 французские математики Ж. Лагранж и А.Вандермонд впервые для нужд этой теории применили подстановки (для теории Г. особенно важен «Мемуар об алгебраическом решении уравнений» Лагранжа). Затем в ряде работ итальянского математика П. Руффини (1799 и позднее), посвященных доказательству неразрешимости уравнения 5-й степени в радикалах, систематически используется замкнутость множества подстановок относительно их композиции и по существу описаны подгруппы группы всех подстановок пяти символов. Глубокие связи между свойствами Г. подстановок и свойствами уравнений были указаны норвежским математиком Н. Абелем (1824) и французским математиком Э. Галуа (1830). Галуа принадлежат и конкретные достижения в теории Г.: открытие роли т. н. нормальных подгрупп в связи с задачей о разрешимости уравнений в радикалах, установление свойства простоты знакопеременных Г. степени n 5 и др.; он же ввёл термин «группа» (le Group), хотя и не дал строгого определения. Важную роль в систематизации и развитии теории Г. сыграл трактат французского математика К. Жордана о Г. подстановок (1870).
Независимо и из других соображений идея Г. возникла в геометрии, когда в середине 19 в. на смену единой античной геометрии пришли многочисленные «геометрии» и остро встал вопрос об установлении связей и родства между ними. Выход из создавшегося положения был намечен исследованиями по проективной геометрии, посвященными изучению поведения фигур при различных преобразованиях. Постепенно интерес в этих исследованиях перешёл на изучение самих преобразований и поиск их классификации. Таким «изучением геометрического родства» много занимался немецкий математик А. Мёбиус. Заключительным этапом на этом пути явилась «Эрлангенская программа» немецкого математика Ф. Клейна (1872), положившая в основу классификации геометрий понятие Г. преобразований: каждая геометрия определена некоторой Г. преобразований пространства, и только те свойства фигур принадлежат к данной геометрии, которые инвариантны относительно преобразований соответствующей Г.
Третий источник понятия Г. — теория чисел. Уже Л. Эйлер (1761), изучая «вычеты, остающиеся при делении степеней», по существу пользовался сравнениями и разбиениями на классы вычетов, что на теоретико-групповом языке означает разложение Г. на смежные классы по подгруппе. К. Гаусс в «Арифметических исследованиях» (1801), занимаясь уравнением деления круга, фактически определил подгруппы его группы Галуа. Там же, изучая «композицию двоичных квадратичных форм», Гаусс по существу доказывает, что классы эквивалентных форм образуют относительно композиции конечную абелеву Г.. Развивая эти идеи, немецкий математик Л. Кронекер (1870) вплотную подошёл к основным теореме о конечных абелевых Г., хотя и не сформулировал её явно.
Осознание в конце 19 в. принципиального единства теоретико-групповых форм мышления, существовавших к тому времени независимо в разных областях математики, привело к выработке современного абстрактного понятия Г. (норвежский математик С. Ли, нем. математик Ф. Фробениус и др.). Так, уже в 1895 Ли определял Г. как совокупность преобразований, замкнутую относительно их композиции, удовлетворяющей условиям 1), 2), 3). Изучение Г. без предположения их конечности и без каких бы то ни было предположений о природе элементов впервые оформилось в самостоятельную область математики с выходом книги О. Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп» (1916).
Теория групп. Конечной целью собственно теории Г. является описание всех возможных групповых композиций. Теория Г. распадается на ряд больших разделов, выделяемых чаще всего дополнительными условиями на групповую композицию или внесением в Г. дополнительных структур, связанных определённым образом с групповой композицией. Перечислим важнейшие разделы теории групп.
а) Теория конечных Г. Основная проблема этой старейшей ветви теории Г. — классификация т. н. простых конечных Г., играющих роль кирпичей при построении произвольной конечной Г. Одним из наиболее глубоких фактов, установленных в этой теории, является теорема о том, что всякая неабелева простая конечная Г. состоит из чётного числа элементов.
б) Теория абелевых Г. Отправной точкой многих исследований в этой области служит основная теорема о конечно-порождённых абелевых Г., полностью выясняющая их строение.
в) Теория разрешимых и нильпотентных Г. Понятие разрешимой Г. является обобщением понятия абелевой Г. Оно по существу идёт от Галуа и тесно связано с разрешимостью уравнений в радикалах. Для конечных Г. это понятие может быть определено многими равносильными способами, которые перестают быть равносильными при отказе от конечности Г. Изучение возникающих при этом классов Г. составляет предмет теории обобщённо разрешимых и обобщённо нильпотентных Г.
г) Теория Г. преобразований. Понятие Г. возникло исторически именно как понятие Г. преобразований, но в дальнейшем было освобождено от этой конкретной оболочки. Тем не менее теория Г. преобразований осталась важной частью общей теории. Типичный вопрос в ней: какими абстрактными свойствами обладает Г., заданная как Г. преобразований некоторого множества? Особое внимание привлекают, в частности, Г. подстановок и Г. матриц.
д) Теория представлений Г. — важное орудие изучения абстрактных Г. Представление абстрактной Г. в виде некоторой конкретной Г. (например, в виде Г. подстановок или матриц) позволяет проводить тонкие вычисления и с их помощью обнаруживать важные абстрактные свойства. Особенно велики успехи теории представлений в теории конечных Г., где с её помощью получен ряд результатов, недоступных пока абстрактным методам.
е) Из разделов теории групп, выделяемых внесением в Г. дополнительных структур, согласованных с групповой композицией, отметим теорию топологических Г. (в них групповая композиция в некотором смысле непрерывна), в частности её старейшую ветвь — теорию групп Ли.
Теория Г. является одной из самых развитых областей алгебры и имеет многочисленные применения как в самой математике, так и за её пределами. Например, с помощью теории Г. русский учёный Е. С. Федоров (1890) решил задачу классификации правильных пространственных систем точек, являющуюся одной из основных задач кристаллографии. Это был исторически первый случай применения теории Г. непосредственно в естествознании. Большую роль играет теория Г. в физике, например в квантовой механике, где широко используются соображения симметрии и теория представлений Г. линейными преобразованиями.
Лит.: Александров П. С., Введение в теорию групп, 2 изд., М., 1951; Мальцев А. И., Группы и другие алгебраические системы, в кн.: Математика, ее содержание, методы и значение, т. 3, М., 1956, с. 248—331; Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; Холл М., Теория групп, пер. с англ., М., 1962; Варден Б. Л. ван дер. Метод теории групп в квантовой механике, пер. с нем., Хар.,1938; Шмидт О. Ю., Абстрактная теория групп, в кн.: Шмидт О. Ю. Избр. труды. Математика, М., 1959; Федоров Е. С., Симметрия правильных систем фигур, в кн.: Федоров Е.С., Симметрия и структура кристаллов. Основные работы, М., 1949; WussinG Н., Die Genesis des abstrakten GruppenbeGriffes B.1969 S.1
М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков.

Рис. к ст. Группа.
II
Группа (нем. Gruppe)
(военное), 1) объединение соединений и частей под общим командованием старшего начальника для выполнения оперативной (боевой) задачи. В ход Великой Отечественной войны 1941—45 в Советских Вооруженных Силах создавались оперативные Г., выполнявшие задачи во фронтовой наступательной или оборонительной операции обычно в отрыве от главных сил, и подвижные Г. для развития наступления в глубине обороны противника после её прорыва. Для обеспечения боевых действий создавались артиллерийские (миномётные) и зенитно-артиллерийские Г. 2) В 30-х гг. 20 в.- часть боевого порядка соединений сов. сухопутных войск который делился на ударную сковывающую и огневую Г. 3) Штатная организация а) в вооруженых силах США: Г. армейской авиации, Г. войск специального назначения (для ведения диверсионно-подрывных действий на территории противника); 6) в вооруженных силах Великобритании: пехотная бригадная Г. общевойсковое тактическое соединение.
III
Группа (геологическое)
подразделение общей стратиграфической шкалы, объединяющее комплекс пород, образовавшихся в течение одной геологической эры. Термин «Г.» был принят на 2-й сессии Геологического международного конгресса в 1801. Американские геологи, оспаривая это решение, применяют вместо Г. термин эратема, а Г. называют подразделение местной стратиграфической шкалы. Г. подразделяются на системы; несколько Г. составляют эоно — тему. Каждая Г. соответствует определенному этапу развития Земли и земной коры, характеризуется своеобразием геологических отложений и ископаемых организмов, Различают пять Г.: архейскую, протерозойскую, палеозойскую, мезозойскую и кайнозойскую.
Б.М. Келлер.

Большой словарь иностранных слов:

Группы, ж. [нем. Gruppe]. 1. Несколько предметов или людей, находящихся поблизости друг к другу. Группа островов. Группа деревьев. Рабочие расходились группами. 2. Совокупность лиц, объединенных общностью идеологии (научной, художественной, политической), или профессии, или социальных условий (книжн.). Общественная группа. Литературная группа “Молодая гвардия”. Группа народовольцев. 3. Объединение нескольких лиц для каких-н. общих занятий. Группа для изучения английского языка. || То же, что класс, отделение в средней школе (нов.). Младшая группа. 4. Общий фотографический снимок нескольких лиц. Сняться группой.

Этимологический словарь Крылова:

Заимствование из немецкого, где Grappe – "группа" через французский восходит к итальянскому grappa – "узел, группа".

Математическая энциклопедия:

Один из основных типов алгебраических систем. Теория Г. изучает в самой общей форме свойства алгебраич. операций, наиболее часто встречающихся в математике и ее приложениях (примеры таких операций — умножение чисел, сложение векторов, последовательное выполнение преобразований и т. д.). Понятие Г. явилось исторически одним из первых примеров абстрактных алгебраич. систем и послужило во многих отношениях образцом при перестройке других математич. дисциплин на рубеже 19-20 вв., в результате к-рой понятие математич. системы (= структуры) стало основным в математике. Определение. Группой наз. произвольное множество Gс одной бинарной операцией, удовлетворяющей следующим аксиомам (если операцию записывать как умножение): 1) операция ассоциативна, т. е. для любых а, b, с из G; 2) операция гарантирует единицу, т. е. в Gсуществует такой элемент е, наз. единицей, что для любого аиз G; 3) операция гарантирует обратные элементы, т. е. для любого а из Gсуществует в Gтакой элемент х, наз. обратным к а, что Иногда вместо системы аксиом 1) — 3) пользуются равносильной системой из двух аксиом: 1) и 4) операция гарантирует левые и правые частные, т. в. для любых двух элементов а, b из Gсуществуют в G такие элементы х, у, наз. левым частным и правым частным от деления b на а, что ах= b, уа= b. Из определений следует, что единица в любой Г. единственна, для любого элемента из Г. обратный к нему элемент единствен и для любых элементов а, b из Г. оба частных от деления b на аединственны. Исторические замечания. Истоки понятия Г. обнаруживаются в нескольких дисциплинах, главная из к-рых — теория решения алгебраич. уравнений в радикалах. В "Мемуаре об алгебраическом решении уравнений" Ж. Лагранжа (J. Lagrange, 1771) и одной работе А. Вандермонда (A. Vandermonde, 1771) впервые для нужд этой теории были применены подстановки. Особо важен для теории Г. "Мемуар" Ж. Лагранжа, где в терминах многочленов по существу получено разложение симметрической Г. подстановок на смежные классы по подгруппе. Глубокие связи между свойствами Г. подстановок и свойствами уравнении были указаны Н. Абелем (N. Abel, 1824) и Э. Галуа (Е. Galois, 1830). Вместе с тем Э. Галуа принадлежат конкретные достижения в теории Г.: открытие роли нормальных подгрупп в связи с задачей о разрешимости уравнений в радикалах, установление простоты знакопеременных Г. степени и пр. Важную роль в систематизации и развитии этого направления алгебры сыграл трактат К. Жордана (С. Jordan, 1870) о Г. подстановок. Независимо идея Г. возникла в геометрии, когда в середине 19 в. на смену единой античной геометрии пришли многочисленные "геометрии" и остро встал вопрос об установлении связей и родства между ними. Выход из создавшегося положения был намечен исследованиями по проективной геометрии, посвященными изучению поведения фигур при различных преобразованиях. Постепенно интерес в этих исследованиях перешел на изучение самих преобразований и поиск их классификации. Таким "изучением геометрического родства" много занимался А. Мёбиус , исследовавший конгруэнтность, подобие, аффинность, коллинеацию и, наконец, "элементарные виды родства" геометрич. фигур, т. е. по существу топологич. эквивалентность. На более сознательном уровне классификация геометрий была дана А. Кэли (A. Cayley, 1854 и далее) и другими представителями английской школы теории инвариантов: А. Кэли явно пользовался термином "Г.", систематически использовал таблицы умножения, наз. теперь его именем (см. Кэли таблица), он доказал представимость всякой конечной Г. подстановками, пришел к пониманию Г. как системы, заданной порождающими элементами и определяющими соотношениями. Заключительным этаном на этом пути явилась "Эрлангенская программа" Ф. Клейна (F. Klein, 1872), положившая в основу классификации геометрий понятие Г. преобразований. Третий источник понятия Г.- теория чисел. Уже Л. Эйлер (L. Euler, 1761), изучая "вычеты, остающиеся при делении степеней", но существу пользовался сравнениями и разбиениями на классы вычетов, что на теоретико-групповом языке означает разложение Г. на смежные классы по подгруппе. К. Гаусс (С. Gauss, 1801) в "Арифметических исследованиях", занимаясь уравнением деления круга, фактически определил подгруппы его группы Галуа. Там же, изучая "композицию двоичных квадратичных форм", К. Гаусс по существу доказал, что классы эквивалентных форм образуют относительно композиции конечную абелеву Г. Осознание в конце 19 в. принципиального единства теоретико-групповых идей, использовавшихся долгое время независимо в разных областях математики, привело к выработке современного абстрактного понятия Г. Так, С. Ли (S. Lie, 1895) уже определял Г. как совокупность преобразований, замкнутую относительно операции, к-рая ассоциативна и гарантирует единицу и обратные элементы. Изучение Г. без предположения их конечности и без каких бы то ни было предположений о природе элементов впервые оформилось в самостоятельную область математики с выходом в 1916 книги О. Ю. Шмидта "Абстрактная теория групп". Примеры групп. Ниже приводятся примеры, иллюстрирующие роль Г. в алгебре, в других разделах математики и в естествознании. а) Группы Галуа. Пусть K — конечное, се-парабельное и нормальное расширение поля k. Автоморфизмы поля К, оставляющие элементы подполя kнеподвижными, образуют Г. относительно их последовательного выполнения, наз. Галуа группой расширения . Основная теорема Галуа теории гласит: отображение, сопоставляющее каждой подгруппе Г. ее неподвижное подполе, является антиизоморфизмом решетки подгрупп Г. на решетку промежуточных подполей, заключенных между kи К. Приложение к вопросу о разрешимости уравнений в радикалах осуществляется следующим образом. Пусть f — многочлен от хнад нолем k, К — поле разложения f. наз. группой Галуа многочлена f над полем k(ее элементы естественным образом изображаются подстановками корней уравнения ). Оказывается, уравнение тогда и только тогда решается в радикалах, когда группа Галуа многочлена f разрешима (см. Разрешимая группа). Вэтом и других аналогичных примерах Г. возникают в форме Г. автоморфизмов математич. структур. Это не только одна из важнейших форм, но и вообще присущая только Г. форма применения, обеспечивающая им особое положение в алгебре. Дело в том, что автоморфизмы произвольных структур, говоря словами Галуа, всегда можно "группировать", тогда как определить на множестве автоморфизмов строение кольца или какой-нибудь другой полезной структуры удается лишь в специальных случаях. б) Гомологические группы. Ведущей идеей теории гомологии является применение теории (абе-левых) Г. к изучению категории топологич. пространств. Каждому пространству X сопоставляется семейство абелевых Г. и каждому непрерывному отображению — семейство гомоморфизмов Изучение гомологич. Г. (см. Гомологии группа).и их гомоморфизмов средствами теории Г. часто позволяет решить исходную топологич. задачу. Типичный примерзадача распространения: можно ли отображение , определенное на подпространстве Апространства X, распространить на все X, т. е. представить gкак суперпозицию вложения и нек-рого непрерывного отображения Если да, то в гомологиях должно быть т. е. каждый гомоморфизм можно пропустить через с заданным множителем . Если эта алгебраич. задача неразрешима, то и исходная топологич. задача неразрешима. Этим способом можно получать важные положительные результаты. Гомологич. Г. иллюстрируют другой типичный путь применения Г. — путь изучения неалгебраич. объектов с помощью алгебраич. систем, отражающих их поведение. Именно таков основной метод алгебраич, топологии. Аналогичный метод и, в частности, гомологич. Г. успешно используются и для изучения самих алгебраич. систем — Г., колец и пр. (напр., в теории расширений Г.). в) Группы симметрии. Понятие Г. позволяет в точных терминах охарактеризовать симметричность той или иной геометрич. фигуры. Именно, каждой фигуре можно сопоставить совокупность всех преобразований пространства, совмещающих данную фигуру с нею самой. Эта совокупность будет Г. относительно последовательного выполнения преобразований. Она и характеризует симметричность фигуры. Именно с таких позиций Е. С. Федоров в 1890 решил задачу классификации правильных пространственных систем точек, являющуюся одной из основных задач кристаллографии. Существует всего 17 плоских федоровских Г., они были найдены непосредственно; пространственных федоровских Г. — 230, и только теория Г. позволила провести их исчерпывающую классификацию. Это был исторически первый случай применения теории Г. непосредственно в естествознании. Аналогичную роль играет теория Г. в физике. Так, в квантовой механике состояние физич. системы изображается точкой бесконечномерного векторного пространства. Если физич. система переходит из одного состояния в другое, то изображающая ее точка подвергается нек-рому линейному преобразованию. Соображения симметрии и теория представлений Г. линейными преобразованиями имеют здесь первостепенное значение. Указанные примеры иллюстрируют классифицирующую роль теории Г. всюду, где речь идет о симметрии. Изучая симметрию, по существу имеют дело с автоморфизмами систем (не обязательно математических), поэтому теория Г. незаменима в этих вопросах. Важнейшие классы групп. "Конечная цель" теории Г.- описать все групповые операции или, иначе, все Г. с точностью до изоморфизма. Теория Г. распадается на ряд разделов, выделяемых чаще всего дополнительными условиями на групповую операцию или внесением в Г. дополнительных структур, связанных определенным образом с групповой операцией. Старейшей и интенсивно развивающейся ветвью теории Г. является теория конечных групп. Важное место в ней занимает отыскание конечных простых Г., к к-рым относятся многие классические Г. матриц над конечными полями, а также "спорадические" простые конечные Г. (группы Матьё и др.)- На другом полюсе находятся конечные разрешимые Г., в них обычно интересуются специфическими системами подгрупп (холловых, карте-ровых и пр.), во многом определяющих строение самой Г. Часто конечные Г. возникают в форме Г. подстановок или матриц над конечными полями; изучению представлений матрицами и подстановками посвящено большое самостоятельное направление теории конечных Г. Типичным методом исследования бесконечных Г. является наложение на них того или иного условия конечности. Здесь наибольшее внимание привлекают периодические группы, локально конечные Г., Г. с условием максимальности для подгрупп ( нётеровы группы), Г . с условием минимальности для подгрупп ( артиновы группы), конечно порожденные группы, Г. конечного ранга (см. Ранг группы), финитно аппроксимируемые группы. При изучении абелевых групп важную роль играют полные абелевы Г., абелевы Г. без кручения и периодические абелевы Г., а в них — сервантные подгруппы и примарные подгруппы. Исследование произвольной абелевой Г. во многом сводится к теориям указанных классов с помощью теории расширений абелевых Г., развиваемой в основном гомология, методами (см. Расширение группы). Более широкими по отношению к классу абелевых Г. являются классы нильпотентных групп и разрешимых групп, теория к-рых также достаточно развита. Из обобщений нильпотентности и разрешимости наиболее употребительны локальная нильпотентность, локальная разрешимость, нормализаторное условие, а также многочисленные свойства, определяемые наличием в Г. субнормальных систем (см. Подгрупп система).того или иного типа. Заметную роль играют специальные классы разрешимых и нильпотентных Г.: сверхразрешимые группы, полициклические группы. Важной частью теории Г. является теория Г. преобразований (см. Преобразований группа), в том числе теория Г. подстановок (см. Подстановок группа).и теория линейных групп. Ряд важных классов Г. определяется внесением в Г. дополнительных структур, согласованных с групповой операцией; сюда относятся топологические группы, Ли группы, алгебраические группы, упорядоченные группы. Из других классов Г. следует отметить Г., свободные в том или ином многообразии (см. Свободная группа), полные группы, Г., аппроксимируемые в том или ином смысле, Г., определяемые условиями в терминах порождающих элементов и определяющих соотношений, Г., выделяемые условиями на решетку подгрупп. Лит.:[1] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И., Основы теории групп, М., 1972; [2] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; [3] Холл М., Теория групп, пер. с англ., М., 1962; [4] Шмидт О. Ю., Избр. тр. Математика, М., 1959. с. 17-70; [5] Wussing H., Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffes, В., 1969; [6] Федоров Е. С., Симметрия и структура кристаллов, М., 1949, с. 111-258; [7] Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т., Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. М., 1969. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков.

Орфографический словарь Лопатина:

орф.
группа, -ы

Толковый словарь Ожегова:

ГРУППА, ы, ж.
1. Несколько предметов или людей, животных, расположенных близко друг от друга, соединенных вместе. Г. строений. Г. всадников. Народ толпится группами.
2. Совокупность людей, объединённых общностью интересов, профессии, деятельности, а также совокупность предметов, объединённых общностью признаков. Общественные группы. Г. учащихся. Ударная г. войск.
3. Определённое подразделение внутри какого-н. разряда, множества. Г. крови. Первая (вторая, третья) г. инвалидности.
| уменьш. группка, и, ж. (к 1 и 2 знач.).
| прил. групповой, ая, ое (к 1 и 2 знач.). Групповая фотография. Групповые интересы (узкие, ограниченные).

Социологический словарь:

ГРУППА (от нем. Gruppe — груп па) — англ. group; нем. Gruppe; ф groups; 1. Совокупность индивидов, объеди ненная любым общим признаком: об щим пространственным и временны! бытием, деятельностью, экон., демогр. психологическими и др. характеристиками. см. КАТЕГОРИЯ СОЦИАЛЬНАЯ. 2. Совокупность индивидов, между к-рыми существуют к.-л. прямые или косвенные соц. отношения. 3. Совокупность индивидов, придерживающихся принятых ими норм и выполняющих предписанные ими соц. роли на основе стандартизованных образцов взаимодействия.

Этимологический словарь Макса Фасмера:

группа
заимств. из нем. Gruppe, которое в свою очередь заимств. из франц. groupe, ит. gruppo "ком", связанных с нем. Kropf "зоб"; см. Гамильшег, EW 494; Клюге-Гётце 221.

Грамматический словарь Зализняка:

Группа, группы, группы, групп, группе, группам, группу, группы, группой, группою, группами, группе, группах

Смотреть другие определения →


© «СловоТолк.Ру» — толковые и энциклопедические словари, 2007-2020

Top.Mail.Ru
Top.Mail.Ru