Определение слова «БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ»

Большой энциклопедический словарь:

БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ — произведение бесконечного числа сомножителей — т. е. выражение вида:

Большая советская энциклопедия:

Бесконечное произведение
Произведение бесконечного числа сомножителей u1, u2,..., un,..., т. е. выражение вида

Б. п., в котором сомножителями являются числа, иногда называемые бесконечным числовым произведением. Б. п. не всегда может быть приписано числовое значение. Если существует отличный от нуля Предел последовательности частичных произведений
pn = u1 u2... un
при n , то Б. п. называется сходящимся, a lim pn = р — его значением, и пишут:

Исторически Б. п. впервые встретились в связи с задачей о вычислении числа . Так, французский математик Ф. Виет (16 в.) получил формулу:

а английский математик Дж. Валлис (17 в.) — формулу:

Особое значение Б. п. приобрели после работ Л. Эйлера, применившего Б. п. для изображения функций. Примером может служить разложение синуса:

Разложения функций в Б. п. аналогичны разложениям многочленов на линейные множители; они замечательны тем, что выявляют все значения независимого переменного, при которых функция обращается в нуль.
Для сходимости Б. п. необходимо и достаточно, чтобы un 0 для всех номеров n, чтобы uN > 0, начиная с некоторого номера N, и чтобы сходился ряд

Т. о., исследование сходимости Б. п. эквивалентно исследованию сходимости этого ряда.
Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, М.— Л., 1966; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, М., 1965.

Математическая энциклопедия:

Выражение содержащее бесконечное множество числовых или функциональных сомножителей, каждый из к-рых отличен от нуля. Б. п. наз. сходящимся, если существует отличный от нуля предел последовательности частичных произведений при . 3начением Б. п. наз. этот предел и пишут Б. п. сходится тогда и только тогда, если сходится ряд Тем самым исследование сходимости Б. п. сводится к исследованию сходимости рядов. Б. п. (*) наз. абсолютно сходящимся, если сходится Б. п. для абсолютной сходимости Б. п. (*) необходимо и достаточно, чтобы абсолютно сходился ряд Б. п. обладает переместительным свойством (т. е. его значение не зависит от порядка сомножителей) в том и только в том случае, если оно сходится абсолютно. Б. п. (*) с функциональными сомножителями определенными, напр., в области D плоскости комплексного переменного z, сходится равномерно в D, если последовательность частичных произведений сходится в Dравномерно к пределу, отличному от нуля. В приложениях, однако, весьма важен случай, когда нек-рые сомножители имеют нули в Dтакие, что на любом компакте их лежит не более конечного числа. Понятие сходимости обобщается при этом следующим образом: Б. п. (*) наз. (абсолютно, равномерно) сходящимся внутри D, если для любого компакта существует такой номер , что все сомножители на kпри и последовательность частичных произведений сходится на К(абсолютно, равномерно) к пределу, отличному от нуля. Если все сомножители — аналитич. функции на D и Б. п. сходится равномерно внутри D, то оно представляет в D аналитич. функцию. Б. п. впервые встретилось у Ф. Виета (F. Viete, 1593) при рассмотрении задачи о квадратуре круга, а именно он получил аналитич. редставление числа p, построив следующее Б. п.: Другое представление числа пвосходит к Дж. Валлису (J. Wallis, 1665): Б. п. с функциональными сомножителями появились у Л. Эйлера (L. Euler, 1742), напр.: Б. п.- основной аппарат для представления аналитич. функций с явным указанием их нулей; они являются для целых функций аналогом разложения многочлена на множители. См. также Бляшке произведение, Вейерштрасса теорема о бесконечном произведении, Каноническое произведение. Лит.:[1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; [2] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1-2, М., 1976; [3] Бицадзе А.

Смотреть другие определения →