Определение слова «БЕРНУЛЛИ УРАВНЕНИЕ»

Большой энциклопедический словарь:

БЕРНУЛЛИ УРАВНЕНИЕ — связывает скорость и давление в потоке идеальной несжимаемой жидкости при установившемся течении. Бернулли уравнение выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. Широко применяется в гидравлике и технической гидродинамике. Выведено Д. Бернулли в 1738.

Большая советская энциклопедия:

I
Бернулли уравнение
дифференциальное уравнение 1-го порядка вида:
dy/dx + Py = Qy,
где Р, Q — заданные непрерывные функции от x; — постоянное число. Введением новой функции z = y--+1 Б. у. сводится к линейному дифференциальному уравнению (См. Линейные дифференциальные уравнения) относительно z. Б. у. было рассмотрено Я. Бернулли в 1695, метод решения опубликован И. Бернулли в 1697.
II
Бернулли уравнение
основное уравнение гидродинамики (См. Гидродинамика), связывающее (для установившегося течения) скорость текущей жидкости v, давление в ней р и высоту h расположения малого объёма жидкости над плоскостью отсчёта. Б. у. было выведено Д. Бернулли в 1738 для струйки идеальной несжимаемой жидкости постоянной плотности , находящейся под действием только сил тяжести. В этом случае Б. у. имеет вид:
v2/2 + pl + gh = const,
где g — ускорение силы тяжести. Если это уравнение умножить на , то 1-й член будет представлять собой кинетическую энергию единицы объёма жидкости, а др. 2 члена — его потенциальную энергию, часть которой обусловлена силой тяжести (последний член уравнения), а др. часть — давлением p. Б. у. в такой форме выражает закон сохранения энергии. Если вдоль струйки жидкости энергия одного вида, например кинетическая, увеличивается, то потенциальная энергия на столько же уменьшается. Поэтому, например, при сужении потока, текущего по трубопроводу, когда скорость потока увеличивается (т.к. через меньшее сечение за то же время проходит такое же количество жидкости, как и через большее сечение), давление соответственно в нём уменьшается (на этом основан принцип работы расходомера Вентури).
Из Б. у. вытекает ряд важных следствий. Например, при истечении жидкости из открытого сосуда под действием силы тяжести (рис. 1) из Б. у. следует:
v2/2g = h или

т. е. скорость жидкости в выходном отверстии такова же, как при свободном падении частиц жидкости с высоты h.
Если равномерный поток жидкости, скорость которого v0 и давление p0, встречает на своём пути препятствие (рис. 2), то непосредственно перед препятствием происходит подпор — замедление потока; в центре области подпора, в критической точке, скорость потока равна нулю. Из Б. у. следует, что давление в критической точке p1 = p0 + v20/2. Приращение давления в этой точке, равное p1 - p0 = v20/2, называется динамическим давлением, или скоростным напором. В струйке реальной жидкости её механическая энергия не сохраняется вдоль потока, а расходуется на работу сил трения и рассеивается в виде тепловой энергии, поэтому при применении Б. у. к реальной жидкости необходимо учитывать потери на сопротивление.
Б. у. имеет большое значение в гидравлике (См. Гидравлика) и технической гидродинамике: оно используется при расчётах трубопроводов, насосов, при решении вопросов, связанных с фильтрацией, и т.д. Бернулли уравнение для среды с переменной плотностью р вместе с уравнением неизменяемости массы и уравнением состояния является основой газовой динамики (См. Газовая динамика).
Лит.: Фабрикант Н.Я., Аэродинамика, ч. 1—2, Л.,1949— 64; Угинчус А. А., Гидравлика, гидравлические машины и основы сельскохозяйственного водоснабжения, К.—М., 1957, гл. V.

Рис. 1. Истечение из открытого сосуда.

Рис. 2. Обтекание препятствия.

Математическая энциклопедия:

Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка где. — действительное число, не равное нулю и единице. Это уравнение впервые было рассмотрено Я. Бернулли [1]. Подстановкой Б. у. приводится к линейному неоднородному уравнению 1-го порядка (см. [2]). Если , то Б. у. имеет решение ; при в точках этого решения нарушается единственность. Уравнение вида также есть Б. у., если рассматривать укак независимую переменную, а х — как неизвестную функцию от у. Лит.:[1] Bernoulli J., "Acta Erud.", 1695, p. 59-67, 537-57; [2] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976. Н. X. Розов.

Физический энциклопедический словарь:

(интеграл Бернулли) в гидроаэромеханике (по имени швейц. учёного Д. Бернулли (D. Bernoulli)), одно из осн. ур-ний гидромеханики, к-рое при установившемся движении несжимаемой идеальной жидкости в однородном поле сил тяжести имеет вид:

где v — скорость жидкости, r — ее плотность, р — давление в ней, h — высота жидкой ч-цы над нек-рой горизонт. плоскостью, g — ускорение свободного падения, С — величина, постоянная на каждой линии тока, но в общем случае изменяющая своё значение при переходе от одной линии тока к другой.
Сумма первых двух членов в левой части ур-ния (1) равна полной потенциальной, а третий член — кинетической энергиям, отнесённым к ед. массы жидкости; следовательно, всё ур-ние выражает для движущейся жидкости закон сохранения механич. энергии и устанавливает важную зависимость между v, р и h. Напр., если при неизменной h скорость течения вдоль линии тока возрастает, то давление падает, и наоборот. Этот закон используют при измерении скорости с помощью трубок измерительных и при др. аэродинамических измерениях.
Б. у. представляют также в виде
h+p/g + v2/2g=C или
gh+p+pv2/2=C (2)
(где g=rg — удельный вес жидкости). В 1-м равенстве все слагаемые имеют размерность длины и наз. соотв. геометрической (нивелирной), пьезометрической и скоростной высотами, а во 2-м — размерности давления и соотв. именуются весовым, статическим и динамическим давлениями.
В общем случае, когда жидкость явл. сжимаемой (газ), но баротропной, т. е. р в ней зависит только от r, и когда её движение происходит в любом, но потенциальном поле объёмных (массовых) сил (см. СИЛОВОЕ ПОЛЕ), Б. у. получается как следствие Эйлера уравнений гидромеханики и имеет вид:

где П — потенц. энергия (потенциал) поля объёмных сил, отнесённая к ед. массы жидкости. При течении газов значение П мало изменяется вдоль линии тока, и его можно включить в константу, представив (3) в виде:

В техн. приложениях для течения, осреднённого по поперечному сечению канала, применяют т. н. обобщённое Б. у.: сохраняя форму ур-ний (1) и (3), в левую часть включают работу сил трения и преодоления гидравлич. сопротивлений, а также механич. работу жидкости или газа (работу компрессора или турбин) с соответствующим знаком. Обобщённое Б. у. широко применяется в гидравлике при расчёте течения жидкостей и газов в трубопроводах и в машиностроении при расчёте компрессоров, турбин, насосов и др. гидравлич. и газовых машин.

Смотреть другие определения →