Толковый словарь Ушакова:
ИСЧИСЛЕ́НИЕ, исчисления, ср. (·книж. ).
1. Действие по гл. исчислить-исчислять. Исчисление убытков.
2. Название отделов высшей математики (мат.). Диференциальное исчисление. Интегральное исчисление. Исчисление конечных плоскостей.
Большой энциклопедический словарь:
ИСЧИСЛЕНИЕ — знаковая система, создаваемая использованием процесса образования всех синтаксически правильных символических выражений из букв алфавита системы — языка исчисления, т. е. термов (слов) и формул (фраз) — и процесса вывода потенциально значимых (истинных) формул исчисления (его фразеологии) из некоторого фиксируемого в том же языке набора формул-аксиом. Любое исчисление однозначно определяется заданием алфавита исчисления, правил образования языка в алфавите, множества аксиом и правил преобразования (вывода) его фразеологии. Приписывание символам исчисления значений, т. е. рассмотрение исчислений как знаковой системы (интерпретация исчислений) — преобразует исчисление в формализованный язык. Основные примеры исчисления: числовые и алгебраические системы, логические исчисления.
Большая советская энциклопедия:
Исчисление
Основанный на чётко сформулированных правилах формальный аппарат оперирования со знаками определённого вида, позволяющий дать исчерпывающе точное описание некоторого класса задач, а для некоторых подклассов этого класса (лишь для наиболее простых И., совпадающих с ним) — и Алгоритмы решения. Примерами И. могут служить совокупность арифметических правил оперирования с цифрами (т. е. числовыми знаками), «буквенное» И. элементарной алгебры, дифференциальное И., интегральное И., вариационное И. и другие ветви математического анализа и теории функций. Несмотря на раннее происхождение, термин «И.» употреблялся в математике до недавнего времени без строгого общего определения. С развитием математической логики возникла потребность в общей теории И. и в уточнении самого понятия «И.», которое подверглось более последовательной формализации. В большинстве случаев, однако, оказывается достаточным следующее (идущее от Д. Гильберта) представление об И. Рассматривается некоторый (вообще говоря, бесконечный, хотя и, быть может, задаваемый посредством конечного числа символов) алфавит, из элементов которого, именуемых буквами, с помощью четко сформулированных правил образования строятся формулы рассматриваемого И. (называемые также иногда словами, или выражениями). Некоторые из таких («правильно построенных») формул объявляются аксиомами, а из них с помощью правил преобразования (или, иначе, правил вывода) «выводятся» новые формулы, называемые теоремами данного И. Иногда термин «И.» относят лишь к «словарной» («выразительной») части описанного построения, говоря, что присоединение к ней «дедуктивной» части (т. е. добавление к алфавиту и правилам образования аксиом и правил ввода) даёт формальную систему. Впрочем, эти термины часто считают синонимичными (и в качестве синонимов пользуются также терминами «логистическая система», «формализм», «формальная теория» и многими др.). Если такое неинтерпретированное («бессмысленное») И. сопоставить с некоторой интерпретацией (См. Интерпретация) (или, как говорят, дополнить чисто синтаксические рассмотрения некоторой семантикой; см. Логическая семантика) то получают Формализованный язык. Представление содержательных логических (и логико-математических) теорий в виде формализованных языков есть характерная особенность математической логики (см. также Доказательство).
Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, § 14—20; Марков А. А., Теория алгорифмов, М.—Л., 1954 (Тр. Математического института им. В. А. Стеклова, т. 42); Карри Х. Б., Основания математической логики, пер. с англ., М., 1969, гл. 2; Математическая теория логического вывода, Сборник переводов, под ред. А. В. Идельсона, Г. Е. Минца, М., 1967; Логические и логико-математические исчисления, 1, Сб. работ, под ред. В. П. Оревкова, Л., 1968.
Ю. Л. Гастев.
Малый академический словарь:
исчисление
-я, ср.
1.
Действие по знач. глаг. исчислить—исчислять; вычисление.
Исчисление времени.
2.
с определением.
Название разделов высшей математики.
Дифференциальное исчисление. Интегральное исчисление.
Математическая энциклопедия:
1) Составная часть названия нек-рых разделов математики, трактующих правила вычислений и оперирования с объектами того или иного типа; напр., дифференциальное И., вариационное И. 2) Дедуктивная система, т. е. способ задания множества путем указания исходных элементов (аксиом исчисления) и вывода правил, каждое из к-рых описывает, как строить новые элементы из исходных и уже построенных. Выводомв И. наз. такое линейно упорядоченное множество, что всякий его элемент Рявляется либо аксиомой И. либо заключением применения к.-л. принадлежащего правила вывода, причем все посылки этого применения предшествуют Рв выводе. Элемент наз. выводимым в если в можно построить вывод, кончающийся этим элементом. Для удобства изучения выводов они иногда записываются в виде нелинейной структуры (см. Вывода дерево);выводы могут быть снабжены анализом, т. е. дополнительной информацией, облегчающей проверку правильности вывода (напр., при каждом элементе вывода пишутся код правила и номера предшествующих элементов, при помощи к-рых получен данный элемент). Пример. Рассмотрим исчисление задающее множество Мзаписей в однобуквенном алфавите всех чисел вида 2n при п=1, 2, ... И. имеет одну аксиому || и одно правило вывода "Из слова Рможно получить РР". Легко убедиться, что слова из Ми только они выводимы в И. может иногда порождать также нек-рые вспомогательные элементы, в таком случае задается нек-рый алгоритм, позволяющий отличать основные элементы от вспомогательных. При отсутствии вспомогательных элементов говорят о строгом представлении множества Мисчислением Таков, в частности, приведенный выше пример. Используются и более сложные формы задания множеств посредством И., когда вместо элементов множества порождаются их коды (т. е. нужен еще дополнительный алгоритм, декодирующий основные элементы). Так, широко распространены кодировки нелинейных объектов словами, кодировки слов и n-к чисел натуральными числами и др. Важным частным случаем нестрогого представления является ступенчатое построение П., когда выводимые объекты предыдущих ступеней носят вспомогательный характер при формировании следующей ступени (такие построения особенно характерны для логико-математич. теорий, к-рые оказываются верхней ступенью над рядом И., задающих язык теории). Понятие И. является формализацией интуитивного представления об индуктивно порождаемом множестве. Такие множества широко используются в математике; в частности, формализация любой развитой теории опирается на большое количество индуктивно определяемых множеств, начиная с простейших (множества переменных, термов, формул и т. п.) и кончая множеством теорем, к-рые выводятся из аксиом теории при помощи соответствующих логич. переходов. Неудивительно поэтому, что И. являются одним из основных аппаратов математич. логики. Именно логические исчисления были первыми примерами полностью формализованных дедуктивных систем (на базе этих И. вырабатывались основные понятия и методы общей теории И., возникли далеко идущие обобщения И.; см., напр., Карнапа правило). Нек-рые специальные виды И. хорошо пригодны для описания формальных грамматик (чем определяется роль И. в математической лингвистике )и для задания множеств, распознаваемых автоматами конечными. Одной из основных сфер применения общей теории И. является алгоритмов теория. Это объясняется тем, что понятие И. имеет такой же фундаментальный характер, как и понятие алгоритма. Действительно, класс множеств, к-рые могут быть заданы при помощи И., совпадает с классом алгоритмически перечислимых множеств слов (если оставаться в рамках общепринятых уточнений понятия И. и не прибегать к обобщениям, нарушающим потенциальную возможность порождения каждого выводимого элемента). Отсюда вытекает существование такого И., для к-рого неразрешима проблема выводимости, т. е. невозможен алгоритм, к-рый для всех слов (в языке И.) кончал бы работу с правильным ответом (напр., давал бы 0 на всех выводимых словах и 1 на остальных). Из возможности задания сколь угодно сложных перечислимых множеств вытекает также существование универсальных в том или ином смысле И. (т. е . И., моделирующих все другие И. фиксированного языка, см. Креативное множество). Эти факты, в сочетании с изучением различных модификаций и специализаций общего понятия И., открывают возможности получения интересных алгоритмически неразрешимых проблем. Основополагающее значение для этого направления имела работа Э. Поста (см. [1]), в к-рой впервые было предложено понятие дедуктивной системы, пригодной для порождения произвольных перечислимых множеств слов (см. Поста каноническая система). Широкие возможности в оформлении правил вывода канонических И. позволяют хорошо обслуживать процессы индуктивного порождения множеств; подавляющее большинство построенных конкретных И. легко и естественно можно сформулировать как частные случаи канонических И. Ассоциативные исчисления, называемые также системами Туэ, служат удобным средством задания и изучения групп и полугрупп. Лит.:[1] Post E. L., "Amer. J. Math.", 1943, v. 65, № 2, p. 197-215; [2] Марков А. А., Теория алгорифмов, M.- Л., 1954 ("Тр. матем. ин-та АН СССР", т. 42); [3] "Тр. матем. ин-та АН СССР", 1964, т. 72, с. 5-56; 1967,т. 93, с. 3-42. С. Ю. Маслов.
Орфографический словарь Лопатина:
орф.
исчисление, -я
Научно-технический словарь:
ИСЧИСЛЕНИЕ, область математики, включающая в себя методы ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ и ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Дифференциальное исчисление имеет дело с дифференцированием, т.е. процессом нахождения мгновенной скорости изменения функции в любой момент времени. Предельные значения приращения функции устанавливаются, когда приращение одной из ее переменных стремится к нулю; отношение этих величин называют ПРОИЗВОДНОЙ. Дифференциальное исчисление используют для определения наклона кривых. Интегральное исчисление посвящено операции интегрирования, т.е. нахождения функции по одной или более ее переменным, заданным заранее. В качестве простого примера приведем такой случай: ИНТЕГРАЛ х по х равен х2/2 + с, где с — поястоянная. Интегральным исчислением пользуются для определения площади или объема фигуры, заключенной в определенных границах. В течение двухсот с лишним лет считалось, что это исчисление было изобретено независимо друг от друга Готфридом ЛЕЙБНИЦЕМ и Исааком Ньютоном. Однако в 1934 г. была найдена заметка, написанная Ньютоном, где он отмечал, что его формулировка исчисления была основана на методе проведения касательных, впервые разработанном Пьером ФЕРМА.
Грамматический словарь Зализняка:
Исчисление, исчисления, исчисления, исчислений, исчислению, исчислениям, исчисление, исчисления, исчислением, исчислениями, исчислении, исчислениях
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона:
Этим словом означают отдельные части математики, см. Вариационное И., Дифференциальное И., Интегральное И. и И. конечных разностей.
© «СловоТолк.Ру» — толковые и энциклопедические словари, 2007-2020