Большой энциклопедический словарь:
ЛОГИЦИЗМ — направление в основаниях математики кон. 19 — нач. 20 вв., отвергающее кантовский тезис о синтетическом характере математических истин; рассматривает математику как чисто аналитическую науку, все понятия которой можно определить в рамках дедуктивной логики без использования каких-либо положений нелогического характера. Основные представители — Г. Фреге, Б. Рассел, А. Уайтхед. Тезис о "сводимости математики к логике" оказался невыполнимым, вместе с тем логицизм способствовал развитию математической логики.
Большая советская энциклопедия:
Логицизм
Направление в основаниях математики и философии математики, основным тезисом которого является утверждение о «сводимости математики к логике», т. е. возможности (и необходимости) определения всех исходных математических понятий (в рамках самой математики не определяемых) в терминах «чистой» логики и доказательства всех математических предложений (в том числе аксиом) опять-таки логическими средствами. Идеи Л. были выдвинуты ещё Г. В. Лейбницем, но в развёрнутом виде эта доктрина впервые была сформулирована Г. Фреге, предложившим сведение основного математического понятия — понятия натурального числа — к объёмам понятий и детально разработавшим логическую систему, средствами которой удавалось доказать все теоремы арифметики. Поскольку к тому времени в математике была практически завершена работа по сведению (в том же смысле, что и выше) основных понятий математического анализа, геометрии и алгебры к арифметике (посредством частичного сведения их друг к другу и выражения их понятий в терминах множеств теории (См. Множеств теория)), то, как считал Фреге, логицистическая программа была тем самым в основном выполнена.
Но ещё до выхода в свет 2-го тома работы Фреге «Основные законы арифметики» (1893—1903) Б. Рассел обнаружил в системе Фреге Противоречие (называемое обычно парадоксом Рассела, см. Парадокс). Сам Рассел, однако, разделял основные тезисы программы Л.; он предпринял попытку «исправления» системы Фреге и «спасения» её от противоречий. Решение этой задачи потребовало большой работы по последовательной и детальной формализации (См. Формализация) не только математики, но и кладущейся в её основание (согласно программе Л.) логики. Итогом этой работы явился написанный Расселом (совместно с А. Н. Уайтхедом) трёхтомный труд «Principia Mathematica» (1910—13). Главным новшеством системы Рассела — Уайтхеда (ниже РМ) явилось построение логики в виде «ступенчатого исчисления», или «теории типов». Формальные объекты этой теории разделялись на т. н. типы (ступени), и эта «иерархия типов» (а в др. модификациях системы РМ — ещё дополнительная «иерархия уровней») позволила избавиться от всех известных парадоксов. Однако для построения классической математики средствами РМ к этой системе пришлось присоединить некоторые аксиомы (см. Типов теория), содержательно характеризующие важные свойства данного конкретного «мира математики» (и, конечно, соответствующего ему мира реальных вещей), а вовсе не являющиеся «аналитическими истинами», или, по Лейбницу, истинами, верными «во всех возможных мирах». Итак, не вся расселовская математика выводима из логики. Но более того, эта математика и не есть вся математика: как показал К. Гёдель (1931), системы типа РМ (и все, не уступающие им по силе) существенно неполны — их средствами всегда можно сформулировать содержательно истинные, но не разрешимые (не доказуемые и не опровержимые) математические утверждения (см. Аксиоматический метод, Метаматематика).
Т. о., программа Л. «чисто логического» обоснования математики оказалась невыполнимой. Тем не менее и результаты Рассела, и работы др. учёных, предложивших позднее различные усовершенствования системы РМ (например, работы американского математика У. ван О. Куайна), оказали громадное положительное влияние на развитие математической логики и науки в целом, способствуя формированию и уточнению ряда важнейших логико-математических и общеметодологических идей и построению соответствующего точного математического аппарата.
Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, гл. 3; Френкель А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966, гл. 3.
Ю. А. Гастев.
Математическая энциклопедия:
Одно из направлений в основаниях математики, ставящее целью обосновать математику путем сведения ее исходных понятий к понятиям логики. Мысль о сведении математики к логике высказывалась Г. Лейбницем (G. Leibniz, кон. 17 в.). Практическое осуществление логицистич. тезиса было предпринято в кон. 19 — нач. 20 вв. в работах Г. Фреге и Б. Рассела (см. [1], [2]). Взгляд на математику как на часть логики обусловлен тем, что любую математич. теорему в аксиоматич. системе можно рассматривать как нек-рое утверждение о логич. следовании. Остается только все встречающиеся в таких утверждениях константы определить через логич. термины. К концу 19 в. в математике различные виды чисел, включая комплексные, были определены в терминах натуральных чисел и операций над ними. Попытка сведения натуральных чисел к логич. понятиям была предпринята Г. Фреге. В интерпретации Г. Фреге натуральные числа были кардинальными числами нек-рых понятий. Однако система Фреге не свободна от противоречий. Это выяснилось, когда Б. Рассел обнаружил противоречие в канторовой теории множеств (антиномия Рассела), пытаясь свести ее к логике. Обнаруженное противоречие побудило Б. Рассела к пересмотру взглядов на логику, к-рую он сформулировал в виде разветвленной типов теории. Однако построение математики на основе теории типов потребовало принятия аксиом, к-рые неестественно считать чисто логическими. К ним относятся, напр., аксиома бесконечности, к-рая утверждает, что существует бесконечно много индивидов, т. е. объектов наинизшего типа. В целом попытка сведения математики к логике не удалась. Как показал К. Гёдель [3], никакая формализованная система логики не может быть адекватной базой математики. Лит.: [1] F г е g е G., Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet, Bd 1-2, Jena, 1893-1903; [2] Whitehead A. N., R и s s e 1 1 В., Principia Mathematica, Camb., 1910; [3] G 6 d e 1 K., "Monatsh. Math. und Phys.", 1931, Bd 38, S. 173-98; [4] К а р р и Х., Основания математической логики, пер. с англ., М., 1969; [5] Френкель А.- А., Бар-Xиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966. В. Е. Плиско.
Орфографический словарь Лопатина:
орф.
логицизм, -а
Новая философская энциклопедия:
ЛОГИЦИЗМ – одно из трех главных направлений в основаниях математики наряду с интуиционизмом [ИНТУИЦИОНИЗМ]и формализмом [ФОРМАЛИЗМ]. Основополагающим фактором в становлении философии логицизма явилось развитие на рубеже 19–20 вв. логики символической [ЛОГИКА СИМВОЛИЧЕСКАЯ], которую логицизм рассматривает, как органон математики, а точнее, сводит математические утверждения к формальным импликациям логики. Г.Фреге [ФРЕГЕ]первый построил систему теории множеств, которая практически была логической, поскольку основной принцип свертки: каждое свойство определяет множество удовлетворяющих ему элементов – имел неограниченную общность. Эта система оказалась противоречивой, но многие конструкции из нее использовались в дальнейшем.
По мере развития теории доказательств и теории моделей традиционный логицизм все больше сближался с формализмом, и сейчас многие авторы сводят их в единое металогическое направление. И все же отметим принципиальное методологическое отличие логицизма от формализма и от наивного платонизма. Если для формалиста абстрактный объект [АБСТРАКТНЫЙ ОБЪЕКТ]и понятия – не более чем орудия, позволяющие получать реальные истины и конструкции, а для платониста математические понятия уже существуют и он открывает их свойства, то для логициста идеальные понятия – плод мощных и фундаментальных логических конструкций, а не свободной игры ума, но вопрос об их существовании до и вне построений даже не ставится.
Логицизм конструирует математические понятия на базе одного из четырех фундаментальных отношений – принадлежности элемента классу «», применения функции к аргументу, именования и «часть–целое».
За решение грандиозной задачи явного построения математики как логической системы, базирующейся на отношении «» и свободной от парадоксов, взялись Уайтхед [УАЙТХЕД]и его ученик Б.Рассел [РАССЕЛ], написавшие энциклопедический и скрупулезный труд. Этот труд до сих пор остается непревзойденным в части явно проделанного конструктивного моделирования сложных математических понятий через простейшие. В нем выявлены многие тонкости, которые положили начало целым направлениям исследований.
Во-первых, Уайтхед и Рассел предложили во избежание парадоксов теории множеств разделить объекты на типы и строго разделять объекты разных типов. Так, исходные элементы были объектами нулевого типа, их множества – объектами первого типа, а множества объектов n-го типа – объектами n + 1-го типа. В любом отношении равенства правая и левая части должны иметь один и тот же тип, а в отношении принадлежности tи – тип объекта t должен быть на 1 меньше типа объекта и. Эта концепция строгой типизации была затем использована в -исчислении, в современной информатике и когнитивной науке. Она стала общепринятой в языках программирования высокого уровня. Тип объекта обычно обозначается верхним индексом: Xi.
При таком ограничении языка принцип свертки Yi+1xi(x Y А(х)), введенный Фреге и позволяющий определять множества, становится логическим принципом, поскольку на А(х) не нужно накладывать никаких ограничений кроме того, что она не содержит свободно Y. Поэтому типизированный язык с принципом свертки стали называть логикой высших порядков. Первым этот язык явно ввел польский логик Л.Хвистек в 1921.
Далее, они заметили, что в их языке равенство может быть формально выражено через отношение принадлежности:
xiyi(x = y Zi+1(x Z y Z)).
Но принцип экстенсиональности, дающий возможность отождествлять множества с одинаковыми элементами, нужно постулировать отдельно:
Xi+1Yi+1(x = y zi(z X z Y)).
Для моделирования математики необходимо принять еще один принцип, говорящий о бесконечности множества объектов. Он рассматривался как нелогическая аксиома, близкая по характеру к эмпирическим обобщениям других наук.
Рассел и Уайтхед отметили, что принцип свертки содержит в себе скрытый порочный круг. В дальнейшем было подтверждено, что в некоторых случаях удаление определяемого множества из универсума, пробегаемого переменными типа i + 1, входящими в А, приводит к изменению объема Yi+1. Поэтому они предложили разделить множества на порядки и допускать в определениях лишь кванторы по уже определенным множествам более низких порядков. Такая система называется разветвленной иерархией типов. Она применяется в современной теории сложности и определимости. Как заметил Г.Вейль [ВЕЙЛЬ], верхняя грань множества действительных чисел порядка k может быть порядка k+1. К.Гёдельпоказал, что для некоторого ординала совокупность множеств порядка образует модель аксиомы свертки, а если перевести эту иерархию на язык обычной теории множеств, то на некотором ординальном шаге образуется модель теории множеств с аксиомой выбора и континуум-гипотезой.
Для обхода трудностей, выявившихся в разветвленной иерархии, Рассел предложил аксиому сводимости: для каждого множества порядка существует равнообъемное ему множество порядка 0. Л.Хвистек и Ф.П.Рамсей показали, что в этом случае можно порядки вообще не использовать. Рамсей пошел еще дальше и заметил, что все известные парадоксы устраняются уже в кумулятивной теории типов, где принадлежности имеют вид ti Xi+J, j > 0. Кумулятивная теория типов оказалась равнонепротиворечива чистой теории типов.
Линия логицизма была продолжена У.Куайном [КУАЙН], который заметил, что слишком часто в теории типов приходится копировать буквально одни и те же определения на разных уровнях (этот недостаток унаследован и современным программированием вместе с концепцией строгой типизации). Он предложил использовать в аксиоме свертки типизированные выражения, а затем стирать типы (бестиповое выражение, которое может быть корректно типизировано, называется стратифицированным). Получившийся вариант аксиомы свертки и аксиома объемности образуют теорию множеств NF. В NF есть, в частности, множество всех множеств, поскольку определяющее его условие x = x, очевидно, стратифицировано; натуральные числа могут определяться, по Фреге, как множества всех равномощных множеств; доказывается аксиома бесконечности, но зато индукция выполнена лишь для стратифицированных свойств. Несмотря на интенсивные и глубокие исследования, выявившие ряд интересных свойств NF, не получено соотношений между стандартными теориями множеств и NF. При малейших изменениях NF становится либо противоречивой, либо достаточно слабой системой. Напр., если позволить менее строгую типизацию, разрешив объектам типа n быть членами множеств типа n + 1 и n + 2, то получается противоречие; если ослабить аксиому объемности, трактуя объекты без элементов как исходные атомы, которые могут быть различны, то уже не выводится аксиома бесконечности и имеется достаточно простая модель такой теории.
Доказано, что любая модель, построенная внутри общепринятой теории множеств ZF, может быть вложена в модель NF, если обе рассмотренные теории непротиворечивы (Н.Н.Непейвода). Т.о., NF плохо подходит для построения конкретных множеств, но может объединять построенные в другой теории конструкции. Это позволяет рассматривать такие объекты, как категория всех категорий. Продолжением логицизма в области другого фундаментального отношения явились -исчисление и комбинаторная логика [КОМБИНАТОРНАЯ ЛОГИКА]. Их идея – построить все математические понятия, базируясь на операции применения функции к аргументу и на кванторе образования функции x. Карри [КАРРИ]показал, что добавление импликации к неограниченному -исчислению приводит к противоречию, но -исчисление и без логических связок является мощным выразительным средством и инструментом, широко использующимся и в современной логике, и в информатике, и в когнитивной науке, и в философии, и в ИИ. Используются оба его варианта – бестиповое и типизированное. Рассмотрены и системы -исчисления с типовой неопределенностью, но для них, в отличие от теории NF, построен ряд моделей.
Л.Хвистек и С.Лесьневский [ЛЕСЬНЕВСКИЙ]развивали другие логические основания для общей теории.
Теория именования (онтология) имеет следующий исходный принцип:
хХ(х X у(у x & yz(y x & z x y z)&y(y x y X))).
Эту аксиому можно интерпретировать следующим образом. Элементами классов могут быть лишь единичные непустые имена и они являются элементами, если именуемые ими сущности входят в класс. Онтология выступает как система-ядро (в терминологии современной информатики), дающая собственные расширения при пополнении новыми понятиями. Мереология – теория, базирующаяся на соотношении «часть–целое». Честь ее создания также принадлежит Лесьневскому.
Громадный потенциал, заключенный в данных концепциях, остается пока практически неиспользуемым, поскольку современные работы в данных областях носят скорее комментаторский характер.
П.Мартин-Леф, соединяя идеи комбинаторной логики и логицизма с интуиционизмом, приложил их для создания теории конструкций, конструктивно описывающей сложные понятия современных языков программирования.
Сама по себе идея типов и порядков имеет громадное общенаучное и общеметодологическое значение. В частности, она может быть использована для классификации уровней знаний и умений человека. Так, знания первого уровня (выражающиеся импликацией x(1&...&n Q) и умения первого уровня (функции из объектов в объекты) соответствуют стереотипному реагированию, уровню компилятора текстов, техника, рабочего-исполнителя. Знания и умения второго уровня (напр., импликации х(у(Р Q) у(Р1 Q1)) и операторы из условий в умения соответствуют уровню ремесленника, интерпретатора текстов, рабочего-наладчика либо инженера обычной квалификации и т.д. Лишь считанные единицы в истории человечества могли подниматься до знаний и умений седьмого уровня.
Литература:
1. Логицизм (Яновская С.А.). – В кн.: Философская энциклопедия, т. 3. М., 1964;
2. Whitehead J., Russell В. Principia Mathematica. Oxf., 1910–13;
3. Chwistek L. Antynomie logiki formalnej. – «Przegland Filozofski», v. 20, 1921;
4. Ramsey F.P. The foundations of mathematics and other logical essays. N. Y.–L., 1931;
5. Quine W.v.O. Mathematical Logic. Cambr. (Mass.), 1951;
6. Lesniewski S. ber die Grundlagen der Ontologie. – Comptes Rendus de Varsoive, v. 23, 1930;
7. Chwistek L. Neue Grundlagen der Logik und Mathematik. – «Mathematische Zeitschrift», v. 30, 1929, p. 704–724; v. 34, 1932, p. 527–534;
8. Chwistek L. Granice nauki. Lwow–Warszawa, 1935.
H.H.Непейвода
Грамматический словарь Зализняка:
Логицизм, логицизмы, логицизма, логицизмов, логицизму, логицизмам, логицизм, логицизмы, логицизмом, логицизмами, логицизме, логицизмах
© «СловоТолк.Ру» — толковые и энциклопедические словари, 2007-2020