Определение слова «Последовательных Приближений Метод»

Математическая энциклопедия:

Метод повторных подстановок, метод простой итерации,- один из общих методов приближенного решения операторных уравнений. Во многих случаях хорошая сходимость построенных этим методом приближений позволяет применять его в практике вычислений. Пусть Е — нек-рое множество, на к-ром задан оператор А, отображающий Ев себя. Требуется найти неподвижную точку этого отображения, т. е. решение уравнения (1) Пусть уравнение (1) имеет решение и каким-либо способом указано его начальное приближение . Все остальные приближения в П. п. м. строятся но формуле (2) Этот процесс наз. простой одношаговой итерацией. Для исследования сходимости последовательности (2), а также для доказательства существования решения уравнения (1) широко применяется ниже сформулированный принц и ц сжимающих отображений. Пусть Е- полное метрич. пространство с метрикой r; оператор Аопределен в замкнутом шаре Sрадиуса d с центром в х 0: для всяких элементов хи уиз шара Sверно соотношение для начального приближения х 0 выполнено неравенство , для чисел a, d, тсоблюдается условие Тогда: 1) последовательные приближения х n, вычисляемые по правилу (2), могут быть найдены при всяком значении п, и все они принадлежат шару S;2) последовательность х п сходится к нек-рой точке ; 3) предельный элемент х * есть решение уравнения (1); 4) для приближения х n верна следующая оценка близости к решению х *: Далее, во всяком подмножестве пространства Е, где для двух любых точек х, у верно неравенство r( Ах, Ау)<r( х, у), уравнение (1) не может иметь более одного решения. Пусть E=Rn — арифметическое re-мерное пространство и оператор Ав (1) имеет вид Ах=Вх+b, где В= = ||aik||- квадратная матрица га-ro порядка, b=(b1,. . ., b п).заданный, а х=(x1, ..., х п) — искомый векторы в . Если в этом пространстве метрика определена формулой и элементы матрицы Вудовлетворяют условию для всех i, i=1,. . ., n, то из принципа сжимающих отображений следует, что система алгебраич. уравнений х=Ах имеет единственное решение в Rn, к-рое можно получить П. п. м., исходя из произвольного начального приближения Если в действует евклидова метрика тогда получается другое условие сходимости последовательных приближений: Пусть (1) — интегральное уравнение, в к-ром где известные функции f, Кинтегрируемы с квадратом соответственно на множествах , К — числовой параметр. Тогда из принципа сжимающих отображений следует, что если то рассматриваемое интегральное уравнение имеет единственное решение в пространстве L2([a, b]), к-рое можно построить П. п. м. Лит.:[1] Фаддеев Д. К., Фаддеева В.

Смотреть другие определения →