Определение слова «Линейное Уравнение»

Большой энциклопедический словарь:

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ — алгебраическое уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Линейное уравнение с одним неизвестным имеет вид: ax?b. В случае нескольких неизвестных имеют дело с системами линейных уравнений. Теория линейных уравнений получила развитие после возникновения учения об определителях и матриц. Понятие линейности переносится с алгебраических уравнений на уравнения из других областей математики (напр., линейное дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение, в которое неизвестная функция и ее производные входят линейно, т. е. в 1-й степени).

Большая советская энциклопедия:

Линейное уравнение
Уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени (т. е. линейно) и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Несколько Л. у. относительно одних и тех же неизвестных образуют систему Л. у. Решением системы Л. у. называют набор чисел c1, c2, ..., cn, обращающих все уравнения в тождества после подстановки их вместо соответствующих неизвестных. Система Л. у. может иметь как одно единственное решение, так и бесконечное множество решений (неопределённая система); может также оказаться, что система Л. у. не имеет ни одного решения (несовместная система).
Чаще всего встречается случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Одно Л. у. с одним неизвестным имеет вид:
ax = b;
решением его при а 0 будет число b/a. Система двух Л. у. с двумя неизвестными имеет вид:

(1)
где a11, a12, a21, a22, b1, b2— какие-либо числа. Решение системы (1) можно получить с помощью определителей:

,

;
здесь предполагается, что стоящий в знаменателе определитель отличен от нуля. В числителях стоят определители, получающиеся из D заменой в нём одного столбца столбцом свободных членов b1, b2; в выражении для первого неизвестного x1 заменяется первый столбец, а в выражении для второго неизвестного x2 — второй.
Аналогичное правило применимо и при решении любой системы и Л. у. с n неизвестными, т. е. системы вида:

(2)
здесь aij и bi (i, j = 1, 2, ..., n) — произвольные числовые коэффициенты; числа b1, b2, ..., bn называют обычно свободными членами. Если определитель D = aij системы (2), составленный из коэффициентов aij при неизвестных, отличен от нуля, то решение получается следующим образом: k-e (k = 1, 2, ..., n) неизвестное xk равно дроби, в знаменателе которой стоит определитель D, а в числителе — определитель, полученный из D заменой в нём столбца из коэффициентов при отыскиваемом неизвестном (к-го столбца) столбцом свободных членов b1, b2, ..., bn. Если D = 0, то система (2) либо не имеет ни одного решения, либо имеет бесконечное множество решений.
Если все bi = 0 (систему Л. у. называют в этом случае однородной), то при D 0 решение системы (2) будет нулевым (т. е. все xk = 0). В практике часто, однако, встречаются однородные системы Л. у. с числом уравнений на 1 меньше числа неизвестных, т. е. системы вида:
(3)
Решение такой системы неоднозначно; из неё, как правило, можно найти только отношение неизвестных:
x1 : x2 : ... : xn = D1 : D2 : ... : Dn,
где Dn — умноженный на ( — 1)k определитель, полученный из матрицы (См. Матрица) коэффициентов aij системы (3) вычёркиванием какого-то столбца (это правило применимо только тогда, когда хотя бы один из определителей Di отличен от 0).
Впервые решение систем (2) было получено Г. Крамером в 1750; правило для нахождения решения этих систем носит до сих пор название правила Крамера. Построение полной теории систем Л. у. было закончено только спустя 100 лет Л. Кронекером.
Общая система m Л. у. с n неизвестными имеет вид:

(4)
Вопрос о совместности системы Л. у. (4), т. е. вопрос о существовании решения, решается сравнением рангов матриц

и

Если ранги совпадают, то система совместна; если ранг матрицы В больше ранга матрицы Л, то система несовместна (теорема Кронекера — Капелли). В случае совместности системы, её решения можно найти следующим образом. Найдя в матрице А отличный от нуля Минор наибольшего порядка г, отбрасывают m — r уравнений, коэффициенты которых не вошли в этот минор (отбрасываемые уравнения будут следствиями оставшихся, и поэтому их можно не рассматривать); в оставшихся уравнениях переносят направо те неизвестные, коэффициенты которых не вошли в выбранный минор (свободные неизвестные). Придав свободным неизвестным любые числовые значения, получают систему из r уравнений с r неизвестными, которую можно решить по правилу Крамера. Найденные значения r неизвестных вместе со значениями свободных неизвестных дадут некоторое частное (т. е. одно из многих возможных) решение системы (4). Можно, не давая свободным неизвестным конкретных значений, непосредственно выразить через них остальные неизвестные. Так получается общее решение, т. е. решение, в котором неизвестные выражены через параметры; давая этим параметрам произвольные значения, можно получить все частные решения системы.
Однородные системы Л. у. можно решать таким же способом. Решения их обладают тем свойством, что сумма, разность и вообще любая линейная комбинация решений (рассматриваемых как n-мерные векторы) также будет решением системы. Другими словами: совокупность всех решений однородной системы Л. у. образует линейное подпространство n-мерного векторного пространства. Систему решений, которые сами линейно независимы и позволяют выразить любое другое решение в виде их линейной комбинации (т. е. базис линейного подпространства), называют фундаментальной системой решений однородной системы Л. у.
Между решениями системы Л. у. (4) и соответствующей однородной системы Л. у. (т. е. уравнений с теми же коэффициентами при неизвестных, но со свободными членами, равными нулю) существует простая связь: общее решение неоднородной системы получается из общего решения однородной системы прибавлением к нему какого-либо частного решения неоднородной системы Л. у.
Большой наглядности изложения в теории Л. у. можно добиться, используя геометрический язык. Привлекая при этом к рассмотрению линейные операторы (См. Линейный оператор) в векторных пространствах (рассматривая уравнения вида Ax = b, А — линейный оператор, х и b — векторы), легко установить связь рассматриваемых алгебраических Л. у. с Л. у. в бесконечномерных пространствах (системы Л. у. с бесконечным числом неизвестных), в частности с Л. у. в функциональных пространствах, например Линейные дифференциальные уравнения, линейные интегральные уравнения (см. Интегральные уравнения) и др.
Применение правила Крамера при практическом решении большого числа Л. у. может встретить значительные трудности, т. к. нахождение определителей высокого порядка связано со слишком большими вычислениями. Были поэтому разработаны различные методы численного (приближённого) решения систем Л. у. (см. Численное решение уравнений).
Лит.: Энциклопедия элементарной математики, под ред. П. С. Александрова [и др.], кн. 2, М. — Л., 1951; Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М. — Л., 1963.

Математическая энциклопедия:

Уравнение вида где А- линейный оператор, действующий из векторного пространства Xв векторное пространство В, х — неизвестный элемент из X, b — заданный элемент из В(свободный член). Если 6=0, то Л. у. наз. однородным. Решением Л. у. наз. элемент обращающий (1) в тождество: Простейший пример доставляет линейный оператор ( линейная функция )и определяемое им линейное уравнение (алгебраическое): а, (или произвольному полю k);его решение существует тогда и только тогда, когда либо (и тогда х 0=b/а), либо а=b=0 (и тогда х 0 — любое). Обобщением уравнения (2) является Л. у. вида где f(х) -линейный функционал, определенный на векторном пространстве Xнад полем В частности, если размерность Xконечна и равна га (так что Xизоморфно kn), f имеет вид линейной формы нескольких переменных и уравнение (3) может быть записано в виде Если а i одновременно не обращаются в нуль, то множество решений, уравнения (4) заполняет ( п-1)-мерное линейное многообразие (в однородном случае — линейное подпространство) в X. Если Xбесконечномерно, то множество решений уравнения (3) — линейное многообразие коразмерности 1. Несколько уравнений вида (4) образуют с истому Л. у.: При этом систему (5) можно интерпретировать как одно Л. у. вида (1), если принять в качестве Xпространство kn, в качестве В — пространство km, а оператор Азадать матрицей Вопрос о совместности системы Л. у. (5), т. е. вопрос о существовании решения системы Л. у., решается сравнением ранга матриц Более сложно обстоит дело в случае, когда Xн Вявляются бесконечномерными векторными пространствами. При этом играют существенную роль топологии пространств Xи Ви обусловливаемые ими те или иные свойства ограниченности, непрерывности и пр. оператора А. В общем случае существование и единственность решения Л. у. обусловлены обратимостью А(см. Обратное, отображение). Однако эффективно обратить Аудается далеко не всегда, и потому для исследования Л. у. приобретают важную роль качественные методы, позволяющие без решения Л. у. указать полезные в том или ином отношении свойства совокупности решений (в предположении, что они существуют), напр. единственность, априорные оценки и т. д. С другой стороны, оператор Аможет быть определен не на всем пространстве X, и уравнение (1) может не иметь решения ни при каких 6. В этой ситуации разрешимость уравнения (1) устанавливается (во многих практически важных случаях) выбором надлежащего расширения оператора А. Для конкретных типов Л. у., напр. для линейных дифференциальных уравнений как обыкновенных, так и с частными производными, для линейных интегральных уравнений, разработаны специфические, в том числе и численные, методы решения и исследования. Наконец, в ряде случаев (напр., в задачах линейной регрессии) оказываются полезными значения в определенном смысле наиболее подходящие для роли решения Л. у. М. И. Войцеховский.

Смотреть другие определения →