Математическая энциклопедия:
В узком смысле — оператор, действующий на функции, заданные на открытом множестве и принимающий значения в поле или по формуле где — функции со значениями в том же поле, наз. коэффициентами А. Если коэффициенты принимают значения во множестве матриц размера над полем k, то Л. д. о. Аопределен на вектор-функциях u=(u1, ..., un).и преобразует их вектор-функции v=(v1, ..., vt). В случае n=1 он наз. обыкновенным линейным дифференциальным оператором, ав случае n>1 — линейным дифференциальным оператором с частными п. Описанное определение символа не является вполне удовлетворительным для Л. д. о., действующих в расслоениях размерности, большей 1. Одной из причин этого является тот факт, что равенство может нарушаться. Следующая усложненная конструкция, заменяющая понятие символа, является более адекватной. Для всякого расслоения Ена многообразии Xкласса рассматривается пучок D(Е).ростков Л. д. о. где I — одномерное тривиальное расслоение. По определению, значение этого пучка на открытом множестве есть совокупность всех Л. д. о. Пусть Dk(E) — его подпучок, образованный операторами порядка не выше k. В имеется структура пучка (некоммутативных) алгебр, а в D(Е) — структура левого модуля над D, причем действие равно композиции аb. Данный Л. д. о. определяет морфизм левых D-модулей по закону композиции Пусть М(А) — коядро этого морфизма. Имеется точная последовательность левых D-модулей О(Х)-подмодули образуют возрастающую фильтрацию в М(А). Градуированный О(Х)-модуль наз. символическим модулем Л. д. о. А. Поскольку при любых kи l действие Dk на М(А).переводит Ml в Ml+k, то в gr M(А).имеется структура градуированного модуля над градуированной алгеброй Аннулятор этого модуля есть однородный идеал в gr D. Характеристическое многообразие оператора Аесть множество корней этого идеала. Так как алгебра gr Dизоморфна симметрич. алгебре касательного расслоения Т(Х), то характеристич. многообразие канонически вкладывается в Т*(X), причем его пересечение с каждым слоем есть алгебраич. конус. Если многообразие X, а также данные расслоения имеют вещественно или комплексно аналитич. структуру, то характеристич. многообразие совпадает с множеством корней идеала gr(ann М (А)). В этом случае оно является замкнутым аналитич. одмножеством в Т*(X), причем если оно не пусто, то его размерность не меньше dim X. В случае, когда эта размерность равна dim X, Л. д. о. Аназ. максимально переопределенным, или голономным. Формальная теория общих Л. д. о. имеет дело с понятиями формальной интегрируемости и резольвенты. Свойство формальной интегрируемости, формулируемое в двойственных терминах струй, эквивалентно условию: О(Х)-модуль gr M(А).локально свободен. Под резольвентой Л. д. о. Л понимается последовательность, продолжающая (4) в к-рой все суть Л. д. о. В частности, А 1 наз. оператором совместности для А. Формальная интегрируемость обеспечивает локальное существование резольвенты. В литературе используются термины "переопределенная" и "недоопределенная" система дифференциальных уравнений, однако удовлетворительное общее определение отсутствует. Нек-рым приближением к такому определению может служить следующее: существует ненулевой Л. д. о. Втакой, что (п е р е о п р е д е л е н н о с т ь), АВ=0 (недоопределенность). Напр., Л. д. о. d, равный ограничению оператора внешнего дифференцирования на формах степени kна многообразии Xразмерности п, является недоопределенным при k>0, переопределенным при k<n и голономным при k=0. Основные задачи, изучаемые для общих Л. д. о.: разрешимость уравнения с правой частью Au=w при выполнении условия совместности A1u=0, возможность продолжения решений уравнения Аи=0 в большую область (эффект, связанный с переопределенностью), представление общего решения через решения специального вида. Последняя задача может быть сформулирована более конкретно для инвариантных операторов, напр. для Л. д. о. в с постоянными или периодич. коэффициентами: записать представление группы Gв пространстве решений в виде интеграла (в том или ином смысле) по всем неразложимым подпредставлениям. Для определения операторов с постоянными коэффициентами такое представление задается интегралом по экспонентам (экспоненциальное представление), для операторов с периодич. коэффициентами — интегралом по обобщенным решениям Флоке. Определяются Л. д. о. и на произвольных алгебраич. структурах. Пусть R — коммутативное кольцо, Еи Fсуть R-модули. Отображение множеств наз. Л. д. о. порядка не выше т, если оно аддитивно и для любого элемента отображение аА-Аа является Л. д. о. порядка не выше т -1. При этом под Л. д. о. порядка не выше -1 понимается лишь нулевое отображение. В частности, Л. д. о. нулевого порядка есть гомоморфизм Я-модулей и обратно. Всякое дифференцирование является Л. д. о. 1-го порядка (или равно нулю). Если Rесть алгебра над нек-рым полем k, то под Л. д. о. над Л понимается Л. д. о. над кольцом Л, к-рый является k-линейным отображением. Такой Л. д. о. обладает рядом формальных свойств обычных Л. д. о. Если Rесть алгебра всех формальных степенных рядов над kили алгебра сходящихся степенных рядов над k а Еи F — свободные Я-модули конечного типа, то всякий Л. д. о. порядка не выше тимеет однозначную запись (1). Пусть (X., О) — кольцованное пространство, Е п F суть О-модули. Под Л. д, о. понимается всякий морфизм пучков, к-рый в слоях над каждой точкой действует как Л. д. о. над кольцом (алгеброй) Ох. Л. д. о., действующие в модулях или пучках модулей, используются в ряде вопросов алгебраич. геометрии. Лит.: [1] Р е е t r e J., "Math. Scand.", 1960, v. 8, p. 116 — 120; [2] Хёрмандер Л., в кн.: Псевдодифференциальные операторы, пер. с англ., М., 1967, с. 63-87, 166 -296, 297 — 367; [3] Б е р н ш т е й н И. Н., "Функц. анализ и его прилож.", 1972, т. 6, в. 4, с. 26-40; [4] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [5] Т и х о н о в А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977; [6] Хёрмандер Л., Линейные дифференциальные операторы с частными производными, пер. с англ., М., 1965; [7] II а л а м о д о в В. П., Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, М., 1967; [8] X а р т м а н Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970; [9] Пале Р., Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе, пер. с англ., М., 1970; [10] Паламодов В. П., в кн.: Итоги науки. Математический анализ. 1968, М., 1969, с. 5-37; [11] Спенсер Д., "Математика". 1970, т. 14, № 2, с. 66-90; М 3, с. 99-126; [12] Sato M., Kawai Т., Kashiwara М., Microfunctions and psendodifferential equations, Kyoto, 1972. В. П. Паламодов.
© «СловоТолк.Ру» — толковые и энциклопедические словари, 2007-2020