Определение слова «ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ»

Большой энциклопедический словарь:

ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ — частное двух линейных функций, т. е. функция вида y = (ах + b)/(сх + d). Если ad — bc № 0 и с № 0, график дробно-линейной функции — равнобочная гипербола.

Большая советская энциклопедия:

Дробно-линейная функция
Функция вида

т. е. частное двух линейных функций. Д.-л. ф. — простейшая среди рациональных функций (См. Рациональная функция). При ad — bc = 0 она сводится к тождественной постоянной; если ad — bc 0, но с = 0, то Д.-л. ф. сводится к целой линейной функции у = х + . Т. о., интерес представляет лишь случай, когда ad — bc 0 и с 0; графиком Д.-л. ф., когда х принимает действительные значения, является равнобочная Гипербола.
Если х принимает произвольные комплексные значения (а, b, с и d — фиксированные комплексные числа), то Д.-л. ф. осуществляет взаимно однозначное и Конформное отображение комплексной плоскости (пополненной точкой ) на себя, называемое дробно-линейным отображением (это единственная аналитическая функция, обладающая указанным свойством). Д.-л. ф. характеризуется также тем, что она переводит прямые и окружности, лежащие в комплексной плоскости, снова в прямые и окружности. Всякое конформное отображение внутренности круга на себя осуществляется при помощи Д.-л. ф. Двойное отношение четырёх точек

является инвариантом Д.-л. ф. Иными словами, если Д.-л. ф. переводит x1 в y1, x2 в y2, x3 в у3 и x4 в y4, то

Лит.: Маркушевич А. И., Краткий курс теории аналитических функций, 3 изд., М., 1966; Привалов И. И., Введение в теорию функций комплексного переменного, 11 изд., М., 1967.
С. Б. Стечкин.

Математическая энциклопедия:

Функция вида где z= (z1, ..., zn) — комплексные или действительные переменные, aj, b, с j, d- комплексные или действительные коэффициенты, |с 1| + ... + | с n| + |d|>0. Если |с 1| = .. .= |с п| = 0, то Д.-л. ф. является целой линейной функцией; если ранг матрицы.равен единице, то L(z)- постоянная Собственно Д.-л. ф. получается, если |c1|+ .. . + |cn| >0 и ранг Аравен двум; ниже эти условия предполагаются выполненными. В случае n=1 и действительных a1=а, с 1=с, z1 = z график Д.-л. ф. есть равнобочная гипербола с асимптотами z=-d/c и w=a/c. В случае ге=2 и действительных a1, а 2, b,c1, c2, d, z1, z2 график Д.-л. ф. есть гиперболич. параболоид. В случае n=1 Д.-л. ф. L(z)есть аналитич. функция комплексного переменного zвсюду в расширенной комплексной плоскости С, за исключением точки z=-d/c, в к-рой L(z)имеет простой полюс. При n>1 Д.-л. ф. L(z) есть мероморфная функция в пространстве С n комплексных переменных z=(zl,..., zn), имеющая полярным множеством множество См. также Дробно-линейное отображение. Е. П. Долженко, Е. Д. Соломенцев

Смотреть другие определения →