Определение слова «Бернулли Числа»

Большая советская энциклопедия:

Бернулли числа
Специальная последовательность рациональных чисел, фигурирующая в различных вопросах математического анализа и теории чисел. Значения первых шести Б. ч.:
B1 = 1/6, B2 = 1/30, B3 = 1/42, B4 = 1/30,
B5 = 5/66, B6 = 691/2730.
В математическом анализе Б. ч. появляются как коэффициенты разложения некоторых элементарных функций в степенные ряды. Например:

К числу важнейших формул, в которых встречаются Б. ч., относится формула суммирования Эйлера — Маклорена (см. Конечных разностей исчисление). Через Б. ч. выражаются суммы многих рядов и значения несобственных интегралов. Б. ч. впервые появились в посмертной работе Я. Бернулли (1713) в связи с вычислением суммы одинаковых степеней натуральных чисел. Он доказал, что

Для Б. ч. известны рекуррентные формулы, позволяющие последовательно вычислять эти числа, а также явные формулы (имеющие довольно сложный вид).
Большой интерес представляют теоретико-числовые свойства Б. ч. Немецкий математик Э. Куммер в 1850 установил, что уравнение Ферма xp + ур = zp не решается в целых числах х, у, z, отличных от нуля, если простое число р > 2 не делит числителей Б. ч. B1, B2,...B (p — 3)/2. Нередко для обозначения Б. ч. вместо Bm пишут (-1) m — 1B2m (m = 1, 2...); кроме того, полагают
B0 = 1, B1 = — 1/2,
B3 = B5 = B7 =... = 0.
Лит.: Чистяков И. И., Бернуллиевые числа, М., 1895; Кудрявцев В. А., Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа Бернулли, М.—Л., 1936; Уиттекер Э.-Т. и Ватсон Д.-Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 1, М., 1963; Landau Е., Vorlesungen ber Zahlentheorie, Bd 3, N. Y., 1927.
С. Б. Стечкин.

Математическая энциклопедия:

Последовательность рациональных чисел найденная Я. Бернулли [1] в связи с вычислением суммы одинаковых стейеней натуральных чисел: Значения первых Б. ч.: Все Б. ч. с нечетными номерами, кроме В 1 равны нулю, знаки чередуются. Б. ч. являются значениями при Бернулли многочленов:; коэффициентами разложения нек-рых элементарных функций в степенные ряды часто служат Б. ч. Напр. (т. н. производящая функцию для Б. ч.),. Л. Эйлер (L. Euler, 1740) указал на связь между Б.

Смотреть другие определения →