Математическая энциклопедия:
См. Фурье преобразование. А-СИСТЕМА — счетно ветвящаяся система множеств, т. е. семейство подмножеств множества X, занумерованных всеми конечными последовательностями натуральных чисел. А-С.. наз. регулярной, если . Последовательность элементов А-С., занумерованных всеми отрезками одной и той же бесконечной последовательности натуральных чисел, наз. цепью этой А-С. Пересечение всех элементов цепи наз. ее ядром, а объединение ядер всех цепей А-С.- ядром этой А-С., или результатом А- операции, примененной к этой А-С., или A-множеством, порожденным этой А-С. Всякая А-С. может быть регуляризована без изменения ядра (достаточно положить ). Если — нек-рая система множеств, то ядра А-С., составленных из элементов системы , наз. Л-м ножествами, порожденными системой . А-множества, порожденные замкнутыми множествами топология, пространства, наз. А-множествами этого пространства. Лит.:[1] Александров П. С., Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [2] Куратовский К., Топология, пер. с франц., т. 1, М., 1966. Л. Г. Елъкин. К-СИСТЕМА -такой измеримый поток( К- поток) или каскад ( К- каскад) в Лебега пространстве, что существует измеримое разбиениеxфазового пространства со следующими свойствами; а) оно возрастающее (в более старой терминологии — инвариантное) относительно , то есть Ttx мельче x mod 0 при t>0; б) оно является двусторонним образующим для , т. е. единственным mod 0 измеримым разбиением, к-рое мельче mod 0 всех Ttx, является разбиение на точки; в) единственным mod 0 измеримым разбиением, к-рое крупнее mod 0 всех Ttx, является тривиальное разбиение, единственный элемент к-рого — все фазовое пространство. Автоморфизм пространства с мерой, итерации к-рого образуют К-каскад, наз. К- автоморфизмом. Если — К-С., то все Tt с являются К-автоморфизмами; обратно, если для измеримого потока или каскада хоть одно Tt является К-автоморфизмом, то — К-С. К-система обладает сильными эргодич. свойствами: положительная энтропия, эргодичность, перемешивание всех степеней, счетнократный лебеговский спектр (см. Спектр динамической системы, а также [2]). Эндоморфизм пространства Лебега имеет вполне положительную энтропию, если любой его нетривиальный факторэндоморфизм имеет положительную энтропию. Среди таких эндоморфизмов содержатся как K-автоморфизмы (именно последние суть в точности автоморфизмы с вполне положительной энтропией), так и другие интересные объекты ( точные эндоморфизмы). Имеются обобщения К-С. в других направлениях: на случай бесконечной инвариантной меры (см. [6], [7], [11]) и для действия группы, отличной от и (см. [8] — [10], [12]). К-С. наз. также системами (потоками и т. д.) Колмогорова, к-рый впервые ввел их (см. [1]) под названием "квазирегулярных". Последнее подчеркивает аналогию с регулярными случайными процессами (см. [4]). Если случайный процесс , стационарный в узком смысле слова, интерпретировать как динамич. систему, то значения процесса "в прошлом" определяют нек-рое измеримое возрастающее разбиение x — наименьшее, относительно к-рого измеримы все Xt с t<0. Если x обладает свойствами б) и в) (закон "все или ничего"), то процесс наз. регулярным. В частности, вероятностное происхождение имеет простейший пример K-автоморфизма — Бернулли автоморфизм. Если у измеримого потока или каскада в пространстве Лебега одно из преобразований Т t изоморфно автоморфизму Бернулли, то и все они (при ) изоморфны автоморфизмам Бернулли; в этом случае динамич. система наз. бернуллиевской (см. [5]). Существуют К-С., не являющиеся бернуллиевскими. К-С. (даже бернуллиевские) естественно возникают не только в теории вероятностей, но и в других вопросах (алгебраической, геометрической и даже физич. природы; см. [2], [3], [5]). Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Докл. АН СССР", 1958, т. 119, № 5, с. 861-64; 1959, т. 124, №4, с. 754-55; [2] Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В., Эргодическая теория, М., 1980; [3] Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 13, М., 1975, с. 129-262; [4] Розанов Ю. А., Стационарные случайные процессы, М., 1963; [5] Орнстейн Д., Эргодическая теория, случайность и динамические системы, пер. с англ., М., 1978; [6] Parry W., "Proc. Amer. Math. Soc.", 1965, v. 16, №5, p. 960-66; [7] Dugdale J. K., "Publ. math.", (Debrecen) 1967, t. 14, № 1/4, p. 79-81; [8] Соnze J. P., "Z. Wahrs-chemlichkeitstheorie und verw. Gebiete", 1972, Bd 25, H. 1, S. 11 — 30; [9] Вurtоn R. М., там же, 1979, Bd 47 H. 2, S. 207-12; [10] Dani S., "Amer. J. Math.", 1976 v. 98 № 1 p. 119-63; [11] Krengel U., SuchestonL., "Ann. Math. Statistics", 1969, v. 40, № 2, p. 694-96; [12] Кaminski В., "Bull. Acad. polon. sci. Ser. sci. math., astron. et phys.", 1978, v. 26, № 2, p. 95-97. Д. В. Аносов. У-СИСТЕМА — гладкая динамич. система (поток или каскад) с компактным фазовым многообразием, к-рое все является гиперболическим множеством. Диффеоморфизм, порождающий У-каскад, наз. У-д и ф-феоморфизмом. У-С. были введены Д. В. Аносовым (см. [1], [2]), поэтому иногда их наз. системами Аносова. У-С. являются грубыми системами, причем при малом (в смысле С 1) возмущении У-С. снова получается У-С.; число периодич. траекторий У-С. периода не больше Тэкспоненциально растет с ростом Т. У-С. обладают сильными эргодич. свойствами по отношению к широкому классу т. н. "гиббсовских" инвариантных мер (см. [4]- [6]). [В частности, если У-С. имеет конечную инвариантную меру, "совместимую с гладкостью", т. е. задаваемую в терминах локальных координат положительной плотностью (в первых работах только такие меры и рассматривались, см. [1] — [3]), то эта мера — гиббсовская.] Так, если у У-диффеоморфизма нет блуждающих точек, то он метрически изоморфен Вернулли автоморфизму, сходимость временных средних к пространственному среднему в широких предположениях подчиняется центральной предельной теореме, а скорость перемешивания — экспоненциальная ("экспоненциальное убывание корреляций"). При исследовании У-С. нередко используется символическая динамика, что стало возможным благодаря введенным в [7], [8] (окончательный вариант в [5]) марковским разбиениям. Ряд результатов об У-С. оказался справедливым и для нек-рых других типов гиперболич. множеств; имеются и менее непосредственные обобщения, при к-рых несколько ослабляются условия гиперболичности (см. [6], [14]). У-С. являются гиперболич. автоморфизмы торов и геодезические потоки на замкнутых многообразиях отрицательной кривизны; имеются и другие примеры родственной алгебро-геометрич. природы. В этих примерах У-С. имеет инвариантную меру, совместимую с гладкостью. При малом возмущении такая мера может исчезнуть, но ввиду грубости все точки остаются неблуждающими. Принципиально иной характер имеют примеры У-С. с блуждающими точками (см. [9]). Существование У-С. на многообразии налагает ограничения на его топологич. свойства. В общем случае об этом известно немногое (см. [10], [11]); хорошо изучен тот случай, когда устойчивое или неустойчивое подпространство (см. Гиперболическое множество).одномерно (см. [9], [12], [13]). Лит.:[1] Аносов Д. В., "Докл. АН СССР", 1962, т. 145, № 4, с. 707-09; 1963, т. 151, № 6,с. 1250-52; [2] его же, Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны, М., 1967; [3] Аносов Д. В., Синай Я. Г., "Успехи матем. наук", 1967, т. 22, в. 5, е. 107 — 72; [4] Синай Я. Г., там же, 1972, т. 27, в. 4, с. 21 — 64; [5] Боуэн Р., Методы символической динамики, пер. с англ., М., 1979; [6] Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 13, М., 1975, с. 129-262; [7] Adlеr R. L., Weiss В., "Proc. Nat. Acad. Sci. USA", 1967, v. 57, .№ 6, p. 1573-76; [8] Синай Я. Г., "Функциональный анализ и его приложения", 1968, т. 2, № 1, с. 64-89; [9] Franks J. M., Williams В., в кн.: Global theory of dynamical systems, B.- [u. a.], 1980, p. 158-74 (Lecture notes in math., № 819); [10] Hirsсh M. W., "Topology", 1971, v. 10, № 3, p. 177-83; [11] Shiraiwa K., "Nagoya Math. J.", 1973, v. 49, p. 111 — 15; [12] Гладкие динамические системы, пер. с англ., М., 1977; [13] Vеrjоvskу A., "Bolet. Soc. Matem. Mexicana", 1974, v. 19, № 2, p. 49-77; [14] Fathi A., Laudenbасh P., Роenaru V., "Asterisque", 1979, t. 66-67, p. 71-79, 139- 58, 225 — 42. Д. В. Аносов.
© «СловоТолк.Ру» — толковые и энциклопедические словари, 2007-2020