Определение слова «Непротиворечивость»

Большой энциклопедический словарь:

НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ — совместимость, отсутствие противоречия — логический критерий корректности (правильности) некоторого утверждения, рассуждения или их совокупности (теории). Непротиворечивость исчисления означает логическую возможность его интерпретации и является необходимым условием его практической реализуемости.

Большая советская энциклопедия:

Непротиворечивость
Совместимость, свойство дедуктивной теории (или системы аксиом (См. Аксиома), посредством которых теория задаётся), состоящее в том, что из неё нельзя вывести противоречие, т. е. какие-либо два предложения А и ¬ А, каждое из которых является отрицанием другого. Для широкого класса формальных теорий, включающих аксиому А & ¬ А В («из противоречия следует любое утверждение»), Н. равносильна существованию в данной теории хотя бы одного недоказуемого предложения.
Н., необходимая для того чтобы система могла рассматриваться как описание некоторой «содержательной ситуации», отнюдь не гарантирует существования такой ситуации. Впрочем, для любой непротиворечивой системы аксиом в каждом случае могут быть указаны абстрактные модели; поэтому для представителей «классических» направлений в основаниях математики и логики (и тем более для представителей моделей теории (См. Моделей теория)) Н. служит если и не обоснованием «существования» описываемых аксиомами совокупностей абстрактных объектов, то, по крайней мере, достаточным основанием для содержательного рассмотрения и изучения таких объектов. Поскольку описываемая теорией «ситуация» лежит вне самой теории, данное выше понятие Н., которое можно назвать «внутренней» (иначе —синтаксической, или логической) Н., тесно связано с так называемой «внешней» (семантической) Н., заключающейся в недоказуемости в данной теории никакого предложения, противоречащего (в обычном содержательном смысле) фактам описываемой ею «действительности». Несмотря на эту связь, синтаксическая и семантическая Н. равносильны лишь для таких «бедных» логических теорий, как, например, исчисление высказываний (см. Логика высказываний); вообще же говоря, внутренняя Н. сильнее внешней. Роль отображаемой какой-либо конкретной теорией «действительности» может играть и некоторая другая дедуктивная теория, так что внешнюю Н. исходной теории можно понимать как её относительную Н., а указание системы соответствующих семантических правил перевода понятий, выражений и утверждений из второй теории в первую, дающее интерпретацию (См. Интерпретация) (модель) исходной теории, оказывается для неё доказательством относительной Н.
В классической математике источником построения моделей для таких доказательств служит в конечном счёте Множеств теория. Однако обнаружение в теории множеств Парадоксов (антиномий) обусловило потребность поиска новых, принципиально отличных от метода интерпретаций, методов доказательства Н., — в некотором смысле «абсолютных». (Такая потребность возникает и в силу несовпадения понятий внутренней и внешней Н.) Можно избрать и промежуточный путь, требуя абсолютное доказательство Н. только для аксиоматической теории множеств (См. Аксиоматическая теория множеств) (к которой уже можно было бы сводить проблемы Н. конкретных математических теорий чисто теоретико-модельными средствами) или даже хотя бы для такого относительно простого её фрагмента, как формализованная арифметика натуральных чисел, так как средствами последней строится теоретико-множественный «универсум» (предметная область) основных разделов классической математики. Такой путь и избрал Д. Гильберт, предложивший широкую программу, в ходе выполнения которой обосновываемые теории, прежде всего, подвергались бы формализации (См. Формализация), а полученные формальные системы (исчисления) (См. Формальная система) исследовались бы на предмет их синтаксической Н. так называемыми финитными (т. е. содержательными, но не использующими сомнительных теоретико-множественных абстракций) средствами. Такие абсолютные доказательства Н. составили основное содержание развиваемой школой Гильберта метаматематики (См. Метаматематика) (теории доказательства). Но уже в 1931 К. Гёдель доказал принципиальную невыполнимость гильбертовой программы, а тем самым и ограниченность аксиоматического метода, в рамках которого для достаточно богатых формальных теорий требования Н. и полноты (См. Полнота) оказываются несовместимыми (подробнее см. Аксиоматический метод). Что же касается содержательных дедуктивных теорий (в том числе и математических), по отношению к которым требование полноты теряет смысл, то для них Н. по-прежнему остаётся важнейшим необходимым критерием осмысленности и практической приложимости.
Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957 (имеется лит.). См. также лит. при статьях Аксиоматический метод, Метаматематика.
Ю. А. Гастев.

Математическая энциклопедия:

Свойство формальной системы, состоящее в том, что не каждая формула этой системы доказуема в ней. Формальные системы, обладающие этим свойством, наз. непротиворечивым и, или формально непротиворечивым и. В противном случае формальная система наз. противоречивой, или несовместной. Для широкого класса формальных систем, язык к-рых содержит знак отрицания эквивалентна свойству:"не существует такой формулы , что и обе доказуемы". Класс формул данной формальной системы наз. непротиворечивым, если не всякая формула этой системы выводима из данного класса. Формальная система наз. содержательно непротиворечивой, если существует модель, в к-рой истинны все теоремы этой системы. Если формальная система содержательно непротиворечива, то она формально непротиворечива. Для формальных систем, основанных на классическом исчислении предикатов, справедливо и обратное утверждение: в силу Гёделя теоремы о полноте классического исчисления предикатов, всякая такая непротиворечивая система имеет модель. Таким образом, один из способов доказательства Н. формальной системы состоит в построении модели. Другой (метаматематический) метод доказательства Н., предложенный в начале 20 в. Д. Гильбертом (D. Hilbeit), состоит в том, что утверждение о Н. нек-рой формальной системы рассматривается как высказывание о доказательствах, возможных в этой системе. Теория, объектами к-рой являются произвольные математич. доказательства, наз. доказательств теорией, или метаматематикой. Примером применения метаматематич. метода может служить предложенное Г. Генценом (G. Gentzen) доказательство Н. формальной системы арифметики (см. Генцена формальная система). Любое доказательство Н. использует средства той или иной математич. теории, а потому лишь сводит вопрос о Н. одной теории к вопросу о Н. другой теории. При этом говорят также, что первая теория непротиворечива относительно второй теории. Большое значение имеет вторая теорема Гёделя, к-рая утверждает, что Н. формальной теории, содержащей арифметику, невозможно доказать с помощью средств самой рассматриваемой теории (при условии, что эта теория действительно непротиворечива). Лит.:[1] Гильберт Д., Бернайс П., Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики, пер. с нем., М., 1979; [2] Новиков П. С, Элементы математической логики, 2 изд., М., 1973; [3] Френкель А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966; [4] Генцен Г., в кн.; Математическая теория логического вывода, М., 1967, с. 77-153; [5] Минц Г. Е., в кн.: Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 13, М., 1975, с. 5-49; [6] Godеl К., "Monatsch. Math, und Physik", 1930, Bd 37, S. 349-60. В. Е. Шиско.

Орфографический словарь Лопатина:

орф.
непротиворечивость*, -и

Социологический словарь:

НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ — англ. non-contradiction; нем. Widerspruchsfrei. Критерий правильного логического мышления, означающий, что в суж — дении, доказательстве, теории нет противоположных или противоречивых утверждений об одном и том же предмете, взятом в одно и то же время и в одном и том же отношении.

Смотреть другие определения →