Математическая энциклопедия:
Риманово многообразие М, каждая точка рк-рого является изолированной неподвижной точкой нек-рой ннволютивной нзометрии Sp многообразия М, т. е. есть тождественное преобразование. Пусть G — компонента единицы группы изометрий пространства Ми К — стационарная подгруппа точки р. Тогда Мявляется однородным пространством, и отображение есть инволютивный автоморфизм группы G, причем Ксодержится в замкнутой подгруппе всех неподвижных точек автоморфизма Ф и содержит компоненту единицы группы . Пусть — вещественная алгебра Ли, — ее инво-лютнвный автоморфизм и k — подалгебра в g, состоящая из всех -неподвижных элементов. Рассмотрим связную подгруппу Кприсоединенной группы , соответствующую подалгебре k. Если группа Ккомпактна, то kназ. компактно вложенной подалгеброй алгебры , а пара наз. ортогональной симметрической алгеброй Ли. Пусть g=k+m — разложение на собственные подпространства автоморфизма , отвечающие собственным значениям 1 и -1. Пара () наз.: а) алгеброй компактного типа, если gкомпактна и полупроста; б) алгеброй некомпактного типа, если g=k+m есть Картана разложение;в) алгеброй евклидова типа, если m — абелев идеал в g. Пусть () — ортогональная симметрия, алгебра Ли и g=k+m — указанное разложение. Обозначим через подмножество k+im комплексной оболочки алгебры g. Отображение есть инволютивный автоморфизм алгебры и ( ) есть ортогональная симметрич. алгебра Ли, к-рая наз. двойственной к алгебре (). Если () — алгебра компактного типа, то () — алгебра некомпактного типа, и наоборот. Каждое Г. с. р. п. порождает ортогональную симметрич. алгебру Ли (), где g — алгебра Ли группы G, а ( е — единица группы). наз. пространством компактного или некомпактного типа в соответствии с типом порождаемой им пары (). Каждое односвязное Г. с. р. п. Мявляется прямым произведением: где — евклидово пространство, и — Г. с. р. п. компактного и некомпактного типа соответственно. Для всякого пространства некомпактного типа кривизна в любом двумерном направлении неположительна, а для пространств компактного типа такая кривизна всюду неотрицательна. Любое пространство некомпактного типа диффеоморфно евклидову пространству. Пусть — Г. с. р. п. компактного или некомпактного типа. Рангом lпространства Мназ. максимальная размерность плоского вполне геодезич. подмногообразия в М. Пусть — два плоских вполне геодезич. подмногообразия пространства Мразмерности и X — касательный вектор к Мв точке q. Тогда: 1) существует такой элемент что и ; 2) существует такой элемент , что и — касательный вектор к Ав точке q. Пусть — ортогональная симметрич. алгебра Ли, a kи т — собственные подпространства автоморфизма , отвечающие собственным значениям 1 и — 1. Алгебра наз. неприводимой, если выполняются условия: 1) gполупроста и kне содержит ненулевых идеалов алгебры g;2) алгебра неприводимым образом действует на т. Г. с. р. п. G/K наз. неприводимым, если порождаемая им ортогональная симметрич. алгебра Ли неприводима. Две ортогональные симметрич. алгебры Ли и наз. изоморфными, если существует такой изоморфизм алгебры на , что . Классификация односвязных неприводимых Г. с. р. п. с точностью до пзометрии эквивалентна классификации неприводимых ортогональных симметрич. алгебр Ли с точностью до изоморфизма. Неприводимые ортогональные симметрич. алгебры Ли компактного типа суть: I. , где — компактная простая алгебра Ли и — любой ее инволютивный автоморфизм; II. (), где компактная алгебра gявляется прямой суммой двух простых идеалов, к-рые переставляются при помощи автоморфизма . Неприводимые ортогональные симметрич. алгебры Ли некомпактного типа суть: III. (), где g — простая некомпактная алгебра Ли над , комплексная оболочка к-рой является простой алгеброй Ли над , а — такой инволютивный автоморфизм алгебры , что его неподвижные точки составляют максимальную компактно вложенную подалгебру; IV. (), где — простая алгебра Ли над , рассматриваемая как вещественная алгебра Ли, а — сопряжение алгебры gпо отношению к максимальной компактно вложенной подалгебре k, т. е. отображение Кроме того, если обозначить через алгебру, двойственную к (g,j), то (g,j) типа III и IV, если типа I и II соответственно, и наоборот. С каждой неприводимой ортогональной симметрич. алгеброй некомпактного типа связано в точности одно Г. с. р. п., причем это пространство односвязно. Для компактных алгебр решение соответствующей задачи значительно сложнее. Достаточно рассмотреть типы I и II. Г. с. р. п., связанные с алгебрами типа II,- это в точности компактные связные простые группы Ли, снабженные римановой структурой, инвариантной относительно левых и правых сдвигов. Задача классификации Г. с. р. п., связанных с алгебрами типа I, с точностью до локальных изометрий равносильна задаче классификации инволютивных автоморфизмов простых компактных алгебр Ли. Глобальная классификация симметрических римановых пространств, связанных с данной ортогональной симметрич. алгеброй компактного типа, решается следующей теоремой. Пусть — ортогональная симметрич. алгебра компактного типа, причем подалгебра k неподвижных точек автоморфизма не содержит идеалов алгебры g, отличных от . Пусть — односвязная группа Ли с алгеброй Ли — центр группы — такой автоморфизм группы , что и — множество всех неподвижных точек автоморфизма Ф. Для произвольной подгруппы Sгруппы положим Г. с. р. п. М, связанные с , совпадают с пространствами вида где снабженными любой G-инвариантной метрикой. Здесь Sпробегает все подгруппы группы , а пробегает все такие подгруппы в что Лит.: [1] Хелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [2] Loos О., Symmetric spaces, v. 1-2, N.Y.- Amst., 1969. А. С. Феденко.
© «СловоТолк.Ру» — толковые и энциклопедические словари, 2007-2020