Новая философская энциклопедия:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КОСВЕННОЕ (непрямое доказательство) – доказательство «от противоречащего случая», такая форма логической аргументации [АРГУМЕНТАЦИЯ], при которой явно используются дедуктивные свойства противоречия. Обычно выделяют две формы косвенного доказательства – разделительную и апагогическую.
В разделительной форме исходной посылкой служит дизъюнкция суждений, о которой известно, что она истинна и образует полную систему гипотез (альтернатив), а тезисом доказательства (тем, что требуется доказать) объявляется (по крайней мере) одна из гипотез этой дизъюнкции. Т.о., особенность разделительного косвенного доказательства – в исключении (как ложных) всех гипотез главной посылки, кроме тезиса. Такое исключение проводится многократным применением правила (modus tollendo ponens), разрешающего утверждать (принимать) в качестве истинной одну гипотезу, если отрицается другая: «A или B, не-A, следовательно, B». При этом право на исключение альтернатив (членов дизъюнкции) обосновывается отдельно, что и составляет косвенный пункт доказательства. Если же тезис заранее не указан, он выявляется в ходе последовательного проведения всех косвенных пунктов доказательства.
В апагогической форме (в отличие от разделительной) доказательство начинается с предположения о ложности тезиса и с принятия в качестве одной из посылок доказательства антитезиса – суждения, противоречащего тому, что требуется доказать (противоречащего тезису доказательства). Это первый шаг апагогического косвенного доказательства, называемого поэтому доказательством «от противного». Все последующие шаги состоят в разыскании таких следствий первого шага, которые указывали бы так или иначе на необходимость отбросить исходную гипотезу о ложности тезиса, дав т.о. известное основание его истинности. А это возможно, если только удастся опровергнуть антитезис. Напр., показать несовместимость антитезиса с каким-нибудь заведомо истинным суждением или привести антитезис к абсолютному противоречию типа абсурда (отсюда такой вариант доказательства от противного как reductio ad absurdum).
Первые неявные примеры апагогических косвенных доказательств восходят к ранней античности. Таковы, в частности, «уличающие опровержения» Зенона Элейского, его апории [АПОРИЯ], соответствующие одному из логических законов, а именно A((AA) A). Аристотель уже явно формулирует идею апагогического косвенного доказательства как доказательства «посредством приведения к невозможному» (reductio ad impossible), добавляя, что «при приведении к невозможному противоположное суждение есть истина не заранее признанная, а условно взятая» (Аристотель. Аналитики. 61а 19–61b 4. М., 1952, с. 142). Однако он не указывает, на какие логические законы опирается апагогическое косвенное доказательство. Между тем уточнение этих законов и их семантики привело к разделению апагогических косвенных форм на «различные степени косвенности» и к размежеванию современной логики на классическую, допускающую свободное использование всех форм косвенного доказательства, и интуиционистскую (конструктивную) логику, допускающую, вообще говоря, только одну его форму – доказательство отрицательных суждений (тезисов) через построение, приводящее к абсурду гипотезу об истинности противоречащей им посылки. Т.о., приведенный выше закон Зенона соответствует интуиционистской установке и принимается, а его («симметричная») форма – т.н. «тонкое следование» (consequentia mirabilis), восходящее к «Началам» (кн. IX, теорема 12) Евклида, – этой установке не соответствует и отвергается. Размежевание в подходах к законности некоторых форм косвенного доказательства связано с интуиционистским отказом от использования положительной и отрицательной манеры утверждения как равноправных. Это равноправие выражается, в частности, в свободном использовании закона снятия двойного отрицания (duplex negatio affirmat), вообще говоря, неприемлемого (равно как и дедуктивно связанного с ним закона исключенного третьего) в силу неэффективности (неконструктивности) в ситуациях, когда мысль выходит за пределы финитных возможностей опыта, и вопрос об истинности или ложности суждений решается не прямой опытной проверкой, а некоторым трансфинитным рассуждением. В результате оба этих закона (несмотря на их простоту и широкое использование в математике, начиная с Евклида) и соответственно формы апагогического косвенного доказательства, от них зависящие, в интуиционистской логике отвергаются. А в отсутствии этих законов косвенно доказываются только отрицательные тезисы, поскольку интуиционистски верная импликация AA независима от них. По существу именно этого рода дедукции, формально представимые, к примеру, такой формой закона приведения к абсурду (к противоречию), как (АВ) ((АВ) А), являются единственным (не считая прямого определения) логическим путем введения отрицания в интуиционистских теориях, что указывает на важность этой формы косвенного доказательства для этих теорий. Из других интуиционистски приемлемых форм можно указать на контрапозицию (АВ)(BA), (AB) (BA) и B ((AB)A), a из приемлемых еще и классически – закон обратной контрапозиции (ВА) (АВ): предположив истинным А и ложным В, из отрицания В выводим отрицание А, чем от противного и доказываем истинность импликации (АВ).
Очевидно, что как duplex negatio, так и tertium non datur выражают онтологический аспект отрицания, его трансцендентный характер. Отказ от этих принципов, естественно, приводит к неонтологической концепции отрицания и вводит понятие отрицания в контекст гносеологических обсуждений, затрагивая проблемы философского характера. Вот почему в научном мышлении прямые доказательства ценятся выше косвенных. Однако доказуемое косвенно не всегда доказуемо прямым способом. В этом смысле косвенные доказательства сильнее прямых. Они широко используются как в повседневном, так и в научном мышлении в той мере, в какой стратегия поиска доказательства оправдывается принятой логикой рассуждений.
Литература:
1. Асмус В.Ф. Учение логики о доказательстве и опровержении. М., 1954, гл. 5;
2. Гейтинг А. Интуиционизм. М., 1965;
3. Клини С.К. Математическая логика. М., 1973;
4. Lwenheim L. On Making Indirect Proofs Direct. – «Scripta Math.», 1946, 12;
5. Goodstein R.L. Proof by reductio ad absurdum. – «Math. Gazette», 1948, 32;
6. Beth E.W. Observation au sujet du raisonnement indirect. – «Logique et Analyse», 1960, № 11–12.
M.M.Новосёлов
© «СловоТолк.Ру» — толковые и энциклопедические словари, 2007-2020