Определение слова «Абстракция Актуальной Бесконечности»

Математическая энциклопедия:

Одна из математических идеализации, связанная с определенной формой идеи бесконечности в математике — с идеей так наз. актуальной бесконечности. В применении к потенциально неограниченно продолжимым конструктивным процессам (таким, напр., как процесс последовательного, отправляясь от нуля, порождения натуральных чисел) А. а. б. состоит в отвлечении от принципиальной незавершаемости этих процессов и в равноправном затем рассмотрении результатов воображаемого завершения этих процессов — множеств порождаемых ими объектов, причем эти результаты начинают восприниматься нашим сознанием в качестве актуальных, "готовых" объектов рассмотрения. Применение А. а. б. в указанном выше примере позволяет нам считать математич. объектом множество всех натуральных чисел — натуральный ряд. В логич. аспекте последовательное принятие А. а. б. ведет к принятию в качестве логич. принципа закона исключенного третьего. Особую роль А. а. б. играет при построении математики на базе общей теории множеств, созданной Г. Кантором (G. Cantor). Являясь далеко идущей идеализацией, А. а. б., особенно при многократном применении ее в переплетении с другими идеализациями, порождает объекты, "осязаемость" к-рых становится косвенной, вследствие чего решение проблемы понимания суждений о таких объектах наталкивается на определенные трудности. Неограниченное применение А. а. б. в математике в качестве правомерного средства образования математич. объектов встречало возражения со стороны ряда математиков [Л. Кронекер (L. Kronecker), К. Гаусс (К. Gauss), Д. Гильберт (D. Hilbert), Г. Вейль (Н. Weyl) и др.]. Позитивные программы построения математики на базе абстракции потенциальной осуществимости без использования А. а. б. предложили Л. Э. Я. Брауэр (L. E. J. Brouwer, см. Интуиционизм).и А. А. Марков (см. Конструктивная математика). См. также Абстракция .математическая. Н. М. Нагорный.

Новая философская энциклопедия:

АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ – основанный на акте творческого воображения способ образования абстрактных понятий, лежащий в основе формирования одной из наиболее сложных разновидностей идеи бесконечности – идеи актуальной бесконечности [АКТУАЛЬНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ]. В простейшем случае – при рассмотрении какого-либо необрывающегося конструктивного процесса [КОНСТРУКТИВНЫЙ ПРОЦЕСС], порождающего объекты определенного типа, – абстракция актуальной бесконечности состоит в отвлечении от принципиальной незавершаемости этого процесса. Представив его как бы «продолженным до конца» и тем самым завершившимся, вводят в рассмотрение его воображаемый результат – множество (совокупность) всех порожденных им объектов. При этом возникшее таким образом множество в дальнейшем начинают трактовать в качестве актуального, «готового» объекта рассмотрения. Так, отправляясь от процесса последовательного порождения натуральных чисел 0, 1, 2,... в результате применения к нему абстракции актуальной бесконечности приходят к актуально бесконечному объекту – натуральному ряду, который в дальнейшем выступает в качестве наличного объекта, равноправного с составляющими его числами. В более сложных случаях аналогичной процедуре подвергаются «процессы» существенно более сложных типов. В результате объектами рассмотрения становятся актуально бесконечные множества элементов произвольной природы, что приводит к необходимости изучения понятия множества [МНОЖЕСТВО]как отдельного абстрактного понятия.
В отличие от таких абстракций, в основе которых лежат только акты «чистого» мысленного отвлечения, абстракция актуальной бесконечности существенным образом использует акты творческого воображения, решительного отхода от действительности, и это создает определенные методологические трудности, в частности трудности истолкования суждений о возникающих в результате такого абстрагирования объектах. Эти трудности, связанные с косвенным характером «осязаемости» полученных с применением абстракции актуальной бесконечности объектов, оказываются особенно ощутимыми в тех случаях, когда абстракция актуальной бесконечности применяется многократно и в сочетании с другими идеализациями. В логическом аспекте принятие абстракции актуальной бесконечности ведет к обоснованию классической аристотелевской логики, и в частности исключенного третьего закона [ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО ЗАКОН].
Особую роль абстракция актуальной бесконечности играет в канторовской «архитектурной программе для математики», предусматривающей построение математики в виде надстройки над созданной им множеств теорией [МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ](точнее было бы, следуя самому Кантору, говорить об учении о множествах). Согласно этой программе, получившей в математике самое широкое распространение, всякий математический объект рассматривается как множество, удовлетворяющее определенному условию, и это обстоятельство делает абстракцию актуальной бесконечности основным в рамках данного подхода объектообразующим фактором. Однако в связи с упоминавшимися выше трудностями неограниченное ее применение в качестве правомерного средства образования математических понятий неоднократно вызывало возражения со стороны ряда выдающихся математиков (К.Ф.Гаусс, Л.Кронекер, Д.Гильберт [ГИЛЬБЕРТ], Г.Вейль идр.). Альтернативные по отношению к канторовской программы построения математики на базе использования одной лишь абстракции потенциальной осуществимости [АБСТРАКЦИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ОСУЩЕСТВИМОСТИ]были предложены Л.Э.Я Брауэром(см. Интуиционизм [ИНТУИЦИОНИЗМ]) и А.А.Марковым (см. Конструктивное направление [КОНСТРУКТИВНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ]). Без использования абстракции актуальной бесконечности обходится также и доказательств теория [ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ТЕОРИЯ]Д.Гильберта.
Литература:
1. Бесконечность в математике (А.Н.Колмогоров). – БСЭ, т. 3. М., 1970;
2. Гейтинг А. Интуиционизм. Введение. М., 1965;
3. Марков А.А. О конструктивной математике. – Труды математического института им. В.А.Стеклова, т. 67. М.–Л., 1962;
4. Кантор Г. О различных точках зрения на актуально бесконечное. – В кн.: Он же. Труды по теории множеств. М., 1985.
Н.М.Нагорный

Смотреть другие определения →