Математическая энциклопедия:
Распределение вероятностей в , сосредоточенное на множестве нулевой меры Лебега и приписывающее каждому одноточечному множеству нулевую вероятность. На прямой определение С. р. эквивалентно следующему: распределение сингулярно, если соответствующая функция распределения непрерывна, а ее множество точек роста имеет нулевую меру Лебега. Примером С. р. на прямой может служить распределение, сосредоточенное на канторовом множестве, т. н. канторово распределение, к-рое можно описать следующим образом. Пусть Х 1, X2, . . .- последовательность независимых случайных величин, каждая из к-рых принимает значения 0 и 1 с вероятностями 1/2. Тогда случайная величина имеет канторово распределение, и его характеристич. функция равна Пример С. р. в — равномерное распределение на сфере положительного радиуса. Свертка двух С. р. может быть либо сингулярной, либо абсолютно непрерывной, либо представлять собой смесь сингулярного и абсолютно непрерывного распределений. Любое вероятностное распределение Рможет быть единственным образом представлено в виде где Р d — дискретное, Р а- абсолютно непрерывное, a Ps — С. р., (разложение Лебега). Иногда сингулярность понимается в более широком смысле: вероятностное распределение Fявляется С. р. по отношению к мере Р, если оно сосредоточено на множестве Nтаком, что =0. При таком определении каждое дискретное распределение является С. р. по отношению к мере Лебега. По поводу сингулярных функций множеств см. также Абсолютная непрерывность функции множества. Лит.:[1] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [2] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1907. В. Г. Ушаков.
© «СловоТолк.Ру» — толковые и энциклопедические словари, 2007-2020