Определение слова «Полунепрерывная Функция»

Большая советская энциклопедия:

Полунепрерывная функция
Понятие математического анализа. П. ф. снизу (сверху) в точке х0 называется функция, для которой f (x) = f (x0) [соответственно f (x) = f (x0)]. Иначе, функция полунепрерывна снизу в точке x0, если для всякого > 0 найдётся такое > 0, что из |x — x0| < вытекает f (x0) -— f (x) /i> (не по абсолютной величине!). Функция, полунепрерывная и снизу и сверху, непрерывна в обычном смысле. Ряд свойств П. ф. аналогичен свойствам непрерывных функций (см. <<Непрерывная функция). Например: 1) если f (x) и g (x) П. ф. снизу, то и их сумма и произведение П. ф. снизу; 2) П. ф. снизу на отрезке достигает своего наименьшего значения. Для рядов П. ф. снизу верно, например, следующее утверждение: если un 0 и все un (x) П. ф. снизу, то сумма ряда n=1un (x) П. ф. снизу. П. ф. принадлежат к функциям первого класса по Бэра классификации (См. Бэра классификация).

Математическая энциклопедия:

Функция из первого Бэра класса. Подробнее, числовая функция f, определенная на полном метрич. пространстве X, наз. полунепрерывной снизу (сверху) в точке , если Функция f наз. полунепрерывной снизу (сверху) на X, если она. полунепрерывна снизу (сверху) для всех . Предел монотонно возрастающей (убывающей) последовательности полунепрерывных снизу (сверху) в точке x0 функций есть П. ф. снизу (сверху) в х 0. Если и(х).и v(x).есть П. ф. соответственно снизу и сверху на Xи для всех имеет место , v(x)<+, то существует непрерывная на Xфункция f такая, что для всех . Если m — неотрицательная мера на , то для любой m-измеримой функции существуют две последовательности функций и , удовлетворяющие условиям: 1) un(x) полунепрерывны снизу, vn (х).полунепрерывны сверху,2) каждая функция и п (х). ограничена снизу, каждая функция vn(x).- сверху,3) последовательность невозрастающая, последовательность неубывающая,4) для всех химеет место неравенство 5) m-почти всюду. 6) если для функция f суммируема, , то и (теорема Витали — Каратеодори). Лит.:[1] Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974; [2] Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949. И. А. Виноградова.

Смотреть другие определения →