Определение слова «Ньютона бином»

Большой энциклопедический словарь:

НЬЮТОНА БИНОМ — формула, выражающая целую положительную степень суммы двух слагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых (коэффициенты при них называются биномиальными коэффициентами; их обозначают или : Частными случаями бинома Ньютона при n=2 и n=3 являются формулы квадрата и куба суммы двух слагаемых x и y.

Большая советская энциклопедия:

Ньютона бином
Название формулы, выражающей любую целую положительную степень суммы двух слагаемых (бинома, двучлена) через степени этих слагаемых, а именно:

(1)
(1) где n — целое положительное число, а и b — какие угодно числа.
Частными случаями Н. б. при n = 2 и n = 3 являются известные формулы для квадрата и куба суммы а и b: (а + b)2 = а2 + 2ab + b2, (а + b)3 = а3 + 3a2b + 3ab2 + b3; при n = 4 получают (а + b)4 = a4+ 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 и т.д.
Коэффициенты формулы (или разложения) Н. б. называют биномиальными коэффициентами; коэффициент при an-kbk обозначается так: или Cnk. Последнее обозначение связано с комбинаторикой (См. Комбинаторика): Cnkесть число сочетаний из n различных между собой элементов, взятых по k. Биномиальные коэффициенты обладают многими замечательными свойствами: все они целые положительные числа; крайние коэффициенты равны единице; коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, одинаковы; коэффициенты возрастают от краев к середине; сумма всех коэффициентов равна 2n. Особенно важное значение имеет следующее свойство: сумма двух соседних коэффициентов в разложении (а + b) n равна определённому коэффициенту в разложении (а + b) n+1; например, суммы 1+3, 3+3, 3+1 соседних коэффициентов в формуле для (а + b)3 дают коэффициенты 4, 6 и 4 в формуле для (а + b)4. Вообще:

Пользуясь этим свойством, можно, отправляясь от известных коэффициентов для (а + b)1, получить путём сложения биномиальные коэффициенты для любого n. Выкладки располагают в виде таблицы (см. Арифметический треугольник).
Формула Н. б. для целых положительных показателей была известна задолго до И. Ньютона (См. Ньютона бином); но им была указана (1676) возможность распространения этого разложения и на случай дробного или отрицательного показателя (хотя строгое обоснование этого было дано лишь Н. Абелем (См. Абель), 1826). В этом более общем случае формула Н. б. начинается так же, как формула (1); коэффициентом при an-kbk служит выражение , которое, в случае целого положительного п, обращается в нуль при всяком k > п, вследствие чего формула (1) содержит лишь конечное число членов. В случае же дробного или отрицательного n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, и правая часть формулы содержит бесконечный ряд членов (биномиальный ряд). Если |b| < |а|, то этот ряд сходится, т. е., взяв достаточно большое число его членов, можно получить величину, сколь угодно близкую к (а + b) n (см. Ряд). Формула Н. б. играет важную роль во многих областях математики (алгебре, теории чисел и др.).

Математическая энциклопедия:

Формула разложения произвольной натуральной степени двучлена в многочлен, расположенный по степеням одного из слагаемых двучлена: где — биномиальные коэффициенты. Для пслагаемых формула (*) принимает вид При произвольном показателе т, действительном или даже комплексном, в правой части (*) получается, вообще говоря, биномиальный ряд. Постепенное освоение формулы Н. б., начинавшееся с ее простейших частных случаев (формул "квадрата суммы" и "куба суммы"), прослеживается уже с 11 в. Заслуга И. Ньютона (I. Newton), собственно говоря, состоит в открытии биномиального ряда. Е. Д. Соломенцев.

Смотреть другие определения →