Определение слова «МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР»

Большая советская энциклопедия:

Метрический тензор
Совокупность величин, определяющих геометрические свойства пространства (его метрику). В общем случае риманова пространства (См. Риманово пространство) n измерений метрика определяется заданием квадрата расстояния ds2 между двумя бесконечно близкими точками (x1, x2,..., xn) и (x1 + dx1, x2 + dx2,..., xn + dxn):

где x1, x2,..., xn — координаты, gik — некоторые функции координат. Совокупность величин gik образует Тензор второго ранга, который и называется М. т. Этот тензор симметричен, т. е. gik = gki. Вид компонент М. т. gik зависит от выбора системы координат, однако ds2 не меняется при переходе от одной координатной системы к другой, т. е. является инвариантом относительно преобразований координат. Если выбором системы координат можно привести М. т. к виду

то пространство является плоским, евклидовым пространством (См. Евклидово пространство) (для трёхмерного пространства ds2 = dx2 + dy2 +dz2, где x1 = х, x2 = у, x3 = z — декартовы прямоугольные координаты). Если никаким преобразованием координат нельзя привести М. т. к виду (2), пространство является искривленным и кривизна пространства определяется М. т.
В теории относительности М. т. определяет метрику пространства-времени (См. Метрика пространства-времени).
Лит. см. при статьях Римановы геометрии (См. Риманова геометрия), Относительности теория, Тяготение.
Г. А. Зисман.

Математическая энциклопедия:

Основной тензор, фундаментальный тензор,- поле дважды ковариантного симметрич. тензора на n-мерном дифференцируемом многообразии . Задание на М. т. вводит в касательном к в точке векторном пространстве скалярное произведение контравариантных векторов определяемое как билинейная функция где — значение поля gв точке р. В координатной записи: Метрика пространства с введенным в нем скалярным произведением принимается в бесконечно малом за метрику многообразия , что выражается в выборе дифференциальной квадратичной формы квадратом дифференциала длины дуги кривой , исходящей из рв направлении По ее геометрич. смыслу форму (*) наз. метрической, или первой основной, формой на , соответствующей М. т. g. Обратно, если на задана симметрическая квадратичная форма вида (*), то ей сопоставляется поле дважды ковариантного тензора соответствующая метрич. форма к-рого совпадает с g. Таким образом, задание на М. т. g равносильно заданию на метрики с квадратом линейного элемента вида (*). М. т. полностью определяет внутреннюю геометрию Совокупность М. т. gи . определяемых ими метрик подразделяется на два класса — вырожденные метрики, когда и невырожденные, когда . Многообразие с вырожденной метрикой (*) наз. изотропным. Среди невырожденных М. т., в свою очередь, различаются риманов М. т., для к-рого квадратичная форма (*) является положительно определенной, и псевдориманов М. т., когда форма (*) является знакопеременной. Риманова (псев-дориманова) метрика, вводимая на через риманов (псевдориманов) М. т., определяет на риманову (соответственно псевдориманову) геометрию. Обычно под М. т. без специального на то указания понимается риманов М. т.; но если, рассматривая невырожденный М. т., хотят подчеркнуть, что речь идет именно о римановом, а не псевдоримановом М. т., то об этом М. т. говорят как о собственно римановом М. т. Собственно риманов М. т. может быть введен на любом паракомпактном дифференцируемом многообразии. Лит.:[1] Эйзенхарт Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948; [2] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [3] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971. И. X. Сабитов.

Физический энциклопедический словарь:

Совокупность величин, определяющих геом. свойства пространства (его метрику). В теории относительности М. т. определяет метрику пространства-времени.

Смотреть другие определения →