Определение слова «Линейный Функционал»

Большой энциклопедический словарь:

ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ — обобщение понятия линейной формы на случай бесконечномерных пространств.

Большая советская энциклопедия:

Линейный функционал
Обобщение понятия линейной формы (См. Линейная форма) на линейные пространства (См. Линейное пространство). Линейным функционалом f на линейном нормированном пространстве Е называют числовую функцию f(x), определённую для всех х из Е и обладающую следующими свойствами:
1) f(x) линейна, т. е. f((x + (у) = (f(x) + (f(y),
где х и у — любые элементы из Е, и — числа;
2) f(x) непрерывна.
Непрерывность f равносильна требованию, чтобы было ограничено в Е; выражение называют нормой f и обозначают .
В пространстве С [a, b] функций (t), непрерывных при a ( t ( b, с нормой Л. ф. являются, например, выражения:
,
f2[((t)] = ((t0), a ( t0 ( b.
В гильбертовом пространстве (См. Гильбертово пространство) Н Л. ф. суть скалярные произведения (l, х), где l — любой фиксированный элемент пространства Н; ими исчерпываются все Л. ф. этого пространства.
Во многих задачах можно из общих соображений установить, что та или иная величина является Л. ф. Например, к Л. ф. приводит решение линейных дифференциальных уравнений с линейными краевыми условиями. Поэтому очень существенным является вопрос об общем аналитическом выражении Л. ф. в разных пространствах.
Совокупность всех Л. ф. данного пространства Е превращается в линейное нормированное пространство E, если определить естественным образом сложение Л. ф. и умножение их на числа. Пространство E называют сопряжённым к E; это пространство играет большую роль при изучении Е.
С понятием Л. ф. связано понятие слабой сходимости. Последовательность {xn} элементов линейного нормированного пространства называют слабо сходящейся к элементу х, если

для любого Л. ф. f. См. также Функциональный анализ.

Математическая энциклопедия:

Линейная форма, на векторном пространстве Lнад полем k- отображение такое, что .для всех Понятие Л. ф., будучи важным специальным случаем понятия линейного оператора, является одним из основных в линейной алгебре и играет значительную роль в анализе. На множестве Л. ф. на Lопределены операции сложения и умножения на скаляр по формулам Они задают в структуру векторного" пространства над k. Ядром Л. ф. наз. подпространство Если _ (т. е. ), то Кеr f — гиперплоскость в L. Л. ф. с совпадающими ядрами пропорциональны. Если — базис в L, то для Сопоставление } есть изоморфизм на Следствие: Lизоморфно тогда и только тогда, когда оно конечномерно. При переходе к новому базису в Lэлементы преобразуются по тем же формулам, что и векторы базиса. Оператор определенный равенством инъективен. Он является изоморфизмом тогда и только тогда, когда Lконечномерно. Этот изоморфизм, в отличие от изоморфизма между Lи естествен. Л. ф. на локально выпуклых пространствах, в частности нормированных пространствах,- важный объект изучения функционального анализа. Каждый непрерывный (как отображение топологич. пространств) Л. ф. f на локально выпуклом пространстве Еограничен, т. е. для всех ограниченных Если Е — нормированное пространство, то верно и обратное; при этом оба свойства эквивалентны конечности числа Непрерывные Л. ф. на локально выпуклом пространстве Еобразуют подпространство к-рое наз. сопряженным к Д. В E* рассматриваются различные топологии, в том числе слабая и сильная, к-рые отвечают соответственно за поточечную и за равномерную сходимость на ограниченных множествах. Если Е — нормированное пространство, то Е* — банахово пространство относительно нормы а соответствующая топология совпадает с сильной. Единичный шар рассматриваемый в слабой топологии, компактен. Важные приложения к анализу имеет теорема Хана — Банаха, одна из формулировок к-рой такова: если — преднорма на векторном пространстве Е, f0 — Л. ф., заданный на подпространстве Е 0 в Еи такой, что для всех то f0 может быть распространен на все Ес сохранением линейности и указанной оценки. Следствие: любой непрерывный Л. ф., заданный на подпростр-анстве E0 в локально выпуклом пространстве Е, может быть продолжен до непрерывного Л. ф. на Е, а если Е — нормированное пространство, то и с сохранением нормы. Отсюда для каждого найдется Пусть Е — нормированное пространство, а Е* и затем ( Е*)*взяты с соответствующими нормами. Тогда оператор — изометрическое вложение. Если при этом вложении Есовпадает с (E*)*, то такое нормированное пространство, необходимо полное, наз. рефлексивным. Напр., рефлексивны тогда и только тогда, когда р>1. Аналогичное понятие рефлексивности есть и для общих локально выпуклых пространств. Для многих конкретных локально выпуклых пространств описаны все Л. ф.: напр., сопряженное к гильбертову пространству Несть для фиксированного Сопряженное к С[ а, b]есть для фиксированной функции ограниченной вариации }. Лит.:[1] Б у р б а к и Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [2] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981. А. Я. Хелемский.

Смотреть другие определения →