Большая советская энциклопедия:
Гиббса распределение
Фундаментальный закон статистической физики (См. Статистическая физика), определяющий вероятность данного микроскопического состояния системы, т. е. вероятность того, что координаты и импульсы частиц системы имеют определённые значения.
Для систем, находящихся в тепловом равновесии с окружающей средой, в которой поддерживается постоянная температура (с термостатом), справедливо каноническое Г. р., установленное Дж. У. Гиббсом в 1901 для классической статистики. Согласно этому распределению, вероятность определённого микроскопического состояния пропорциональна функции распределения f (qi, pi), зависящей от координат qi и импульсов pi частиц системы:
где H (qi, pi) — функция Гамильтона системы, т. е. её полная энергия, выраженная через координаты и импульсы частиц, k — Больцмана постоянная, Т — абсолютная температура; постоянная А не зависит от qi и pi и определяется из условия нормировки (сумма вероятностей пребывания системы во всех возможных состояниях должна равняться единице). Т. о., вероятность микросостояния определяется отношением энергии системы к величине kT (которая является мерой интенсивности теплового движения молекул) и не зависит от конкретных значений координат и импульсов частиц, реализующих данное значение энергии.
В квантовой статистике вероятность wn данного микроскопического состояния определяется значением энергетического уровня системы п.
Для идеального газа, т. е. газа. в котором энергией взаимодействия частиц можно пренебречь, каноническое Г. р. переходит в Больцмана распределение, определяющее вероятность того, что координата и импульс (энергия) отдельной частицы имеют данные значения (см. Больцмана статистика).
Если система изолирована, то её энергия постоянна; в этом случае справедливо микроканоническое Г. р., согласно которому все микроскопические состояния изолированной системы равновероятны. Микроканоническое Г. р. лежит в основе Г. р. канонического.
Лит. см. при статье Статистическая физика.
Г. Я. Мякишев.
Математическая энциклопедия:
Распределение вероятностей обнаружения равновесной статистич. системы в любом из ее стационарных микроскопич. состояний. Последние обычно задаются как чистые квантово-механич. состояния, определяемые решением yn стационарного Шрёдингера уравнения где п — полный набор квантовых чисел, фиксирующих каждое из этих состояний. Сопоставление каждому состоянию пвероятности обнаружения системы в этом состоянии (для непрерывного спектра величин n — плотности вероятности) полностью определяет, вместе с набором функций , так наз. смешанное кван-товомеханич. состояние. Для такого состояния наблюдаемые величины определяются как средние по распределению от квантовомеханич. средних для каждого чистого состояния п. Смешанное состояние полностью характеризуется статистич. оператором Неймана (матрицей плотности), к-рый в х — представлении имеет вид Наблюдаемые средние определяются как В случае Г. р. смешанное состояние соответствует равновесному термодинамич. состоянию системы. Так как Г. р. имеют структуру где А — совокупность термодинамич. параметров, фиксирующих микроскопич. состояние системы, то соответствующие им операторы выражаются непосредственно через оператор Гамильтона, В зависимости от выбора параметров A возможны различные формы Г. р., из к-рых наиболее распространены следующие. Микроканоническое Г. р. Параметры Ахарактеризуют состояние изолированной системы и включают энергию , объем V, внешние поля аи число частиц (в случае многокомпонентной системы — совокупность чисел ). В этом случае Г. р. имеет вид где Г- статистический вес, определяющий нормировку распределения и равный причем сумма (или интеграл) берется по всем различным состояниям системы вне зависимости от их вырожденности по . Функция равна единице, если значение попадает в энергетич. слой около значения , и нулю в противном случае. Ширина должна быть значительно меньше макроскопических бесконечно малых изменений энергии , но не меньше интервала между уровнями энергии . Статнстич. вес Г определяет число мнкроскопич. способов, к-рыми может осуществляться данное макроскопич. состояние и к-рые предполагаются равновероятными; он связан с энтропией системы выражением Каноническое Г. р. Макроканонич. состояние системы фиксируется температурой и величинами V, а. N (система "в термостате"); с точки зрения приложений это наиболее удобный способ задания термодинамич. состояния. Канонич. Г. р. имеет вид где Z — статистическая сумма (или сумма состояний) непосредственно связана со свободной энергией системы выражением Большое каноническое Г. р. Параметры Афиксируют состояние системы в термостате, ограниченном воображаемыми стенками, свободно пропускающими частицы. Это и химич. потенциал m (в случае многокомпонентной системы — несколько химич. потенциалов). Г. р. по микроскопич. состояниям, определяемым числом частиц Nи квантовыми числами системы Nтел, имеет вид где — большая сумма состояний определяющая нормировку этого распределения, связана с термодинамич. потенциалом ( р — давление) соотношением Использование какого-либо Г. р. позволяет на основе микроскопич. задания статистич. системы рассчитать характерные для нее макроскопич. средние, дисперсии и т. д., а при помощи нормировочных сумм или — определить все термодинамич. характеристики равновесной системы. Выбор того пли иного Г. р. производится из соображений удобства. В статистическом предельном случае получаемые при помощи Г. р. результаты (выраженные в одних н тех же переменных) в главных асимптотиках по N одинаковы. А так как метод Гиббса гарантирует только такие асимптотики, то все варианты Г. р. оказываются идентичными. Микроканонич. Г. р. используется в основном применительно к общим вопросам статистич. механики (параметры Ане включают специфичных термодинамич. величин типа н т. и.), канонич. Г. р.- главным образом при рассмотрении классич. систем, большое канонич. Г. р.- при исследованиях квантовых систем, когда фиксация точного числа N по технич. соображениям неудобна. При определенных значениях параметров А, связываемых обычно с повышением (при фиксированных остальных параметрах) сверх определенной температуры вырождения (имеющей разные значения для каждого вида микроскопич. движения), общие Г. р. переходят в квазиклассические (по отношению к переменным, для к-рых связанное с их изменением движение невырождено). В случае невырожденной системы N частиц, когда микроскопич. движение представляется как классич. движение N материальных точек, микроскопич. состояние задается фазовой точкой энергия определяется классич. гамильтонианом , а канонич. Г. р. имеет вид где классич. интеграл состояний (квазиклассич. предел статистич. суммы) равен Г. р. введены Дж. Гиббсом (J. Gibbs, 1902). Лит.: [1] Гиббс Д ж. В., Основные принципы статистической механики..., пер. с англ., М., 1946; [2] Xуанг К., Статистическая механика, пер. с англ.. М., 1966; [3] Леонтович М. А., Статистическая физика, М.- Л., 1944. И. А. Квасников.
© «СловоТолк.Ру» — толковые и энциклопедические словари, 2007-2020