Определение слова «Бесселя неравенство»

Большая советская энциклопедия:

Бесселя неравенство
Неравенство для коэффициентов ряда Фурье (см. Фурье ряд) по произвольной ортонормированной системе функций k (x) (k = 1, 2...), т. е. системе, определённой на некотором отрезке [а, b] и удовлетворяющей условиям (k l)

Если функция f (x) измерима на отрезке [а, b], а функция f2(x) интегрируема на этом отрезке и

— ряд Фурье f (x) по системе k (x), то справедливо Б. н.

Б. н. играет важную роль во всех исследованиях, относящихся к теории ортогональных рядов. В частности, оно показывает, что коэффициенты Фурье функции f (x) стремятся к нулю при n . Для тригонометрической системы функций это неравенство было получено Ф. Бесселем (См. Бессель) (1828). Если система функций k такова, что для любой функции f Б. н. обращается в равенство, то оно называется Парсеваля равенством.
С. Б. Стечкин.

Математическая энциклопедия:

Неравенство где — элемент (пред)гильбертова пространства Нсо скалярным произведением -ортогональная система ненулевых элементов из Н. Правая часть Б. в. при любой мощности множества индексов Асодержит не более счетного числа слагаемых, отличных от нуля. Б. н. вытекает из тождества Бесселя справедливого для любой конечной системы элементов В этой формуле — коэффициенты Фурье вектора f по ортогональной системе т. е. числа Геометрически Б. н. означает, что ортогональная проекция элемента f на линейную оболочку элементов , , имеет норму, не превосходящую нормы (т. е. гипотенуза не короче катета). Для того чтобы вектор принадлежал замкнутой линейной оболочке векторов необходимо и достаточно, чтобы Б. н. обращалось в равенство. Если это имеет место при любом , то говорят, что для системы в выполняется Ларсеваля равенство. Для системы линейно независимых (не обязательно ортогональных) элементов из Нтождество Бесселя и Б. н. принимают вид где — элементы матрицы, обратной к матрице Грама (см. Грама определитель).первых пвекторов исходной системы. Б. н. предложено Ф. Бесселем (F. Bessel) в 1828 для тригонометрич. системы. Лит..-41 ] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд.,.т 2; М., 1973. Л. П. Купцов.

Смотреть другие определения →