Определение слова «БЕСКОНЕЧНАЯ ИНДУКЦИЯ»

Большой энциклопедический словарь:

БЕСКОНЕЧНАЯ ИНДУКЦИЯ — вывод общего высказывания (суждения) из бесконечной совокупности посылок, исчерпывающих все его частные случаи. Играет важную роль в основаниях математики (см. Индукция).

Большая советская энциклопедия:

Бесконечная индукция
Умозаключение, при котором из бесконечной совокупности посылок, исчерпывающих все частные случаи какого-либо общего суждения (высказывания), получается в качестве заключения (следствия) это общее суждение. Например, из посылок 0 + 0 = 0 + 0, 0 + 1 = 1 + 0, 0 + 2 = 2 + 0, 1 + 1 = 1 + 1, 0 + 3 = 3 + 0, 1 + 2 = 2 + 1, 0 + 4 = 4 + 0, 1 + 3 = 3 + 1, 2 + 2 = 2 + 2, 0 + 5 = 5 + 0, 1 + 4 = 4 + 1, 2 + 3 = 3 + 2,... (где многоточие означает предположение, что суммы натуральных чисел, стоящих по обе стороны знаков равенства, пробегают последовательно все натуральные числа) по Б. и. получается заключение а + b = b + a, справедливое для любых натуральных значений а и b. Поскольку фактически «перечислить» бесконечное множество посылок невозможно, в каждом таком «применении» Б. и. имеется элемент идеализации (проявляющийся в приведённом выше примере как раз в допущении о законности замены многоточия, являющегося обозримой конечной знаковой конструкцией, на чисто мысленный, абстрактный образ совокупности «всех натуральных чисел»), и любые обороты типа «и т.д.», заменяющие при этом какую-либо бесконечную совокупность (не обязательно состоящую из натуральных чисел), носят неэффективный и метафорический характер. В силу этой неэффективности Б. и. она не может непосредственно использоваться ни в дедуктивных теориях математики и логики, ни в полуэмпирических построениях естественных наук; в первых она часто заменяется различными формами принципа математической индукции (См. Математическая индукция), во вторых — т. н. естественнонаучной (неполной) индукцией. Однако как инструмент теоретического, методологического исследования Б. и. (обычно в форме т. н. правила Карнапа — по имени предложившего его в 1934 австрийского логика) нашла широкие и важные применения в математической логике. Если же совокупность посылок Б. и. задаётся некоторым Алгоритмом, то её можно использовать в качестве специального правила вывода.
Лит. см. при статьях Индукция, Математическая индукция.
Ю. А. Гастев.

Математическая энциклопедия:

Правило Карнапа, w-правило,- неэлементарное вывода правило с бесконечным числом посылок. Точнее, пусть в нек-ром логико-математич. языке переменная x рассматривается как пробегающая натуральные числа и — формула этого языка. Если доказана выводимость каждой из бесконечной совокупности формул то правило Б. и. позволяет заключить, что выводима и формула . Применение правила Б. и. для вывода формул ведет обычно к тому, что понятие вывода становится неразрешимым. Аксиоматич. системы, содержащие такого рода правила, наз. полуформальными теориями (полуформальными аксиоматическими системами). Полуформальные теории играют большую роль в доказательств теории. При этом на выводы посылок в применении правила Б. и. часто накладывают дополнительные ограничения с целью обеспечить эффективность понятия вывода в теории. Напр., требуют, чтобы выводы посылок перечислялись нек-рой общерекурсивной функцией (так наз. конструктивное правило бесконечной индукции). Известно, что арифметика формальная, пополненная конструктивным правилом Б. и., является полной относительно классич. истинности. Правило Б. и. нашло применение для построения семантики конструктивной математики методом ступенчатой семантич. системы. А. Г. Драгалин.

Смотреть другие определения →