Большая советская энциклопедия:
Равностепенная непрерывность
Важное свойство некоторых семейств функций. Семейство функций называется равностепенно непрерывным на данном отрезке [а, b], если для всякого числа > 0 найдётся такое > 0, что |f (x2) — f (x1)| < для любых x1 и x2 из [а, b] для которых |x2 — x1| < , и для любой функции f (x) данного семейства. Все функции равностепенно непрерывного семейства равномерно непрерывны на [a, b] (см. Равномерная непрерывность).
Свойство Р. н. семейства функций находит приложения в теории дифференциальных уравнений и функциональном анализе благодаря следующей теореме: для того чтобы из данного семейства функций можно было выделить равномерно сходящуюся последовательность (см. Равномерная сходимость), необходимо и достаточно, чтобы семейство функций было равностепенно непрерывно и равномерно ограниченно (т. е. чтобы все функции семейства удовлетворяли на [а, b] условию |f (x)| M с одним и тем же М). Возможность выделить равномерно сходящуюся последовательность означает, что данное семейство образует относительно компактное множество в пространстве С непрерывных функций (см. Компактность).
Математическая энциклопедия:
Множества функций- понятие, тесно связанное с понятием компактности множества непрерывных функций. Пусть X, Y — компактные метрич. пространства и С(X, Y) — множество непрерывных отображений Xв Y. Множество наз. равностепенно непрерывным, если для любого существует такое , что из вытекает для всех . Р.
© «СловоТолк.Ру» — толковые и энциклопедические словари, 2007-2020