Большой энциклопедический словарь:
РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — функция, получающаяся в результате конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления) над переменным x и произвольными числами; имеет вид: R(x) = P(x)Q(x) — где P(x) и Q(x) — многочлены от x.
Большая советская энциклопедия:
Рациональная функция
Функция, получающаяся в результате конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления) над переменным х и произвольными числами. Р. ф. имеет вид:
, (1)
где a0, a1, ..., an и b0, b1, ..., bm (a0 0, b0(0)— постоянные, a n и m — неотрицательные целые числа. Р. ф. определена и непрерывна для всех значений х, кроме тех, которые являются корнями (См. Корень) знаменателя Q (x). Если — корень кратности k знаменателя Q (x) и одновременно корень кратности r (r k) числителя Р (х), то R (x) имеет в точке устранимый разрыв; если же r < k, то R (x) имеет в точке бесконечный разрыв (полюс). Многочлен является частным случаем Р. ф. (при m = 0), поэтому многочлены иногда называются целыми Р. ф.; всякая Р. ф. есть отношение двух многочленов. Др. примером Р. ф. может служить Дробно-линейная функция.
Если в формуле (1) n < m (m > 0), то Р. ф. называется правильной; если же n m, то R (x) может быть представлена в виде суммы многочлена M (x) степени n — m и правильной Р. ф. R1(x) = :
R (x) = М (х) + R1(x),
многочлены М (х) и P1(x) (степень последнего меньше m) однозначно определяются из соотношения
Р (х) = M (x) Q (x) + P1(x)
(формула деления многочлена с остатком).
Из определения Р. ф. следует, что функции, получаемые в результате конечного числа арифметических операций над Р. ф. и произвольными числами, снова являются Р. ф. В частности, Р. ф. от Р. ф. есть вновь Р. ф. Во всех точках, в которых она определена, Р. ф. дифференцируема, и её производная
также является Р. ф. Интеграл от Р. ф. сводится по предыдущему к сумме интеграла от многочлена и интеграла от правильной Р. ф. Интеграл от многочлена является многочленом и его вычисление не представляет труда. Для вычисления второго интеграла пользуются формулой разложения правильной Р. ф. R1(x) на простейшие дроби:
где x1, ..., xs — различные корни многочлена Q (x) соответственно кратностей k1, ..., ks (k1 + ... + ks = m), a Aj(i) — постоянные коэффициенты. Разложение Р. ф. на простейшие дроби (2) определяется однозначно. Если коэффициенты многочленов P1(x) и Q (x) — действительные числа, то комплексные корни знаменателя Q (x) (в случае их существования) распадаются на пары сопряжённых, и соответствующие каждой такой паре простейшие дроби в разложении (2) могут быть объединены в вещественные простейшие дроби:
где трёхчлен x2 + px + q имеет комплексно-сопряжённые корни (4q > p2).
Для определения коэффициентов Aj(i), Bj и Dj можно воспользоваться неопределенных коэффициентов методом (См. Неопределённых коэффициентов метод). Интегралы от простейших дробей
и
не являются Р. ф
,
а интегралы от простейших дробей
и
при k > 1 являются: первый — Р. ф., а второй — суммой Р. ф. и интеграла такого же вида, как при k = 1. Т. о., интеграл от любой Р. ф. (не являющейся многочленом) представляется в виде суммы Р. ф., арктангенсов и логарифмических функций. М. В. Остроградский дал алгебраический метод определения рациональной части интеграла от Р. ф., не требующий ни разложения Р. ф. на простейшие дроби, ни интегрирования (см. Остроградского метод).
Р. ф. являются весьма важным классом элементарных функций (См. Элементарные функции). Рассматриваются также Р. ф. нескольких переменных; они получаются в результате конечного числа арифметических операций над их аргументами и произвольными числами. Так,
даёт пример Р. ф. двух переменных u и .
В середине 20 в. Р. ф. нашли широкое применение в вопросах приближения функций (см. Приближение и интерполирование функций).
Математическая энциклопедия:
1) Р. ф.- функция w=R(z), где R(z) — рациональное выражение от z, т. е. выражение, полученное из независимого переменного z и нек-рого конечного набора чисел (действительных или комплексных) посредством конечного числа арифметич. действий. Р. ф. можно записать (не единственным образом) в виде где Р, Q — многочлены, . Коэффициенты этих многочленов наз. к о э ф ф и ц и е н т а м и Р. ф. Дробь P/Qназ. несократимой, если Р, Q не имеют общих нулей (то есть Р, Q — взаимно простые многочлены). Всякую Р. ф. можно записать в виде несократимой дроби R(z)=P(z)/Q(z);если при этом Р имеет степень m, a Q — степень п, то степенью Р. ф. R(z)наз. пару (m, n) или число Р. ф. степени ( т, п).при n=0, т. е. многочлен, наз. ц е л о й р а ц и о н а л ь н о й ф у н к ц и е й, в противном случае — д р о б н о — р а ц и о н а л ь н о й ф у н к ц и е й. Р. ф. не имеет степени. При m<n дробь Rназ. правильной, при — неправильной. Неправильную дробь можно единственным образом записать в виде где Р 1 -многочлен, наз. целой частью дроби Р/Q, a P2/Q- правильная дробь. Правильная дробь с несократимой записью R(z)=P (z)/Q(z), где может быть единственным образом разложена в сумму простейших дробей: (1) Если P(x)/Q(x)-- правильная Р. ф. с действительными коэффициентами и где — действительные числа, , то P(x)/Q(x)также единственным образом представляется в виде (2) где все коэффициенты действительны. Эти коэффициенты, как и в (1), могут быть найдены неопределенных коэффициентов методом. Р. ф. степени (m, п).в несократимой записи определена и аналитична в расширенной комплексной плоскости (т. е. плоскости, дополненной точкой ) за исключением конечного числа особых точек- полюсов в нулях ее знаменателя, а при т>п еще и в точке ; при этом сумма кратностей полюсов функции Rравна ее степени N. Обратно, всякая аналитич. ция, имеющая в расширенной комплексной плоскости в качестве особых точек только полюсы, является Р. ф. В результате арифметич. действий над. Р. ф. получают также Р. ф. (деление на исключается), так что все Р. ф. образуют поле; вообще, Р. ф. с коэффициентами из нек-рого поля образуют поле. Если R1(z), R2(z) суть Р. ф., то и R1(R2(z))является Р. ф. Производная порядка рот Р. ф. степени N есть Р. ф. степени . Неопределенный интеграл (первообразная) от Р. ф. представляет собой сумму нек-рой Р. ф. и выражений вида . Если Р. ф. R(х)действительна при действительном х, то неопределенный интеграл может быть записан в виде суммы нек-рой Р. ф. R0(x)с действительными коэффициентами, выражений вида и произвольной постоянной С(здесь числа , — те же, что и в (2), Mj, Nj — нек-рые действительные числа). Функцию R0(x)по Остроградского методу можно найти, минуя разложение R(х)на простейшие дроби (2). Удобные для вычислений, Р. ф. используются для приближенного представления функций. Рассматриваются также Р. ф. от нескольких действительных или комплексных переменных R = P/Q, где Р, Q — многочлены от соответствующих переменных , а также абстрактные Р. ф. где Ф 1, Ф 2, ... — линейно независимая система непрерывных функций на нек-ром бикомпакте X, а A1,..., А т, B1, . . ., B п — числа. См. также Дробно-линейная функция, Жуковского функция. Лит.:[1] П р и в а л о в И. И., Введение в теорию функций комплексного переменного, 12 изд., М., 1977; [2] К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975. Е. П. Долженко. 2)Р. ф. н а а л г е б р а и ч е с к о м м н о г о о бр а з и и — обобщение классич. понятия рациональной функции (см. п. 1). Р. ф. на неприводимом алгебраич. многообразии X — это класс эквивалентности пар (U, f), где X- непустое открытое подмножество в X, а f — регулярная функция на U. Две пары (U, f) и (V, g )наз. эквивалентными, если f=g на . Р. ф. на Xобразуют поле, обозначаемое k(X). В случае, когда X=Spec R — аффинное неприводимое многообразие, поле Р. ф. на Xсовпадает с полем частных кольца R. Степень трансцендентности над kполя k(X). наз. р а з м е р н о с т ь ю м н о г о о бр а з и я X. Лит.:[1] Ш а ф а р е в и ч И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972. Вик. С. Куликов.
© «СловоТолк.Ру» — толковые и энциклопедические словари, 2007-2020