Определение слова «Пуассоновский Процесс»

Большая советская энциклопедия:

Пуассоновский процесс
Случайный процесс, описывающий моменты наступления 0 < 1 <...< n <...<... каких-либо случайных событий, в котором число событий, происходящих в течение любого фиксированного интервала времени, имеет Пуассона распределение и независимы числа событий, происходящих в непересекающиеся промежутки времени.
Пусть (s, t) — число событий, моменты наступления которых i удовлетворяют неравенствам 0 s < i t, и пусть (s, t) — математическое ожидание (s, t). Тогда и П. п. при любых 0 s1 < t1 s2 < t2 ... sr < tr случайные величины (s1, t1), (s2, t2),... (sr, tr) независимы и вероятность того, что (s, t) = n, равна
e- (s, t) [(s, t)] n /n!.
В однородном П. п. (s, t) = a (t — s), где а — среднее число событий в единицу времени, расстояния n — n-1 между соседними моментами n независимы и имеют Показательное распределение с плотностью ae-at, t 0.
Если имеется много независимых процессов, описывающих моменты возникновения некоторых случайных редких событий, то суммарный процесс при определённых условиях в пределе даёт П. п.
П. п. представляет собой удобную математическую модель, которая часто используется в различных приложениях теории вероятностей. В частности, с помощью П. п. описывается поток требований (например, вызовов, поступающих на телефонную станцию, выездов медицинских машин скорой помощи при транспортных происшествиях в большом городе) в массового обслуживания теории (См. Массового обслуживания теория).
Обобщением П. п. является пуассоновское случайное распределение точек на плоскости или в пространстве, при котором число точек в любой фиксированной области имеет распределение Пуассона (со средним, пропорциональным площади или объёму области) и числа точек в непересекающихся областях независимы. Это распределение часто используется при расчётах в астрономии, физике, экологии, технике и т.д.
Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., т. 1—2, М., 1967.
Б. А. Севастьянов.

Математическая энциклопедия:

Случайный процесс X(t).с независимыми приращениями X(t2)-X(t1), t2>tl имеющими Пуассона распределение. В однородном П. п. для любых t2 > t1 (1) Коэффициент l>0 наз. интенсивностью пуассоновского процесса X(t). Траектории П. п. X(t). представляют собой ступенчатые функции со окачками размера 1. Моменты скачков 0<t1<t2<. . . образуют простейший поток, описывающий поток требований во многих системах массового обслуживания. Распределения случайных величин t1-tn-1 независимы при n=1,2,. .. и имеют показательную плотность Одним из свойств П. п. является следующее: условное распределение моментов скачков 0<t1<t2< . . .<tn<tпри X(t)-X(0)=псовпадает с распределением вариационного ряда независимой выборки объема n с равномерным распределением на [0, t], С другой стороны, если 0<t1<t2< . . .<tn — описанный выше вариационный ряд, то при l получают в пределе распределение скачков П. п. В неоднородном П. п. интенсивность l(t) зависит от времени tи распределение X(t2)-X(t1).определяется формулой При определенных условиях П. п. может быть показан как предел суммы неограниченно возрастающего числа независимых "редких" потоков довольно общего вида. О нек-рых поучительных парадоксах, связанных с П. п., см. [3], т. 2, гл. 1. Лит.:[1] Боровков А. А., Теория вероятностей, М., 1976; [2] ГихманИ. И., Скороход А. В., Ядренко М. И., Теория вероятностей и математическая статистика, К., 1979; [3] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения, 2 изд., пер. с англ., т. 1 — 2, М., 1967. Б. А. Севастьянов.

Смотреть другие определения →