Определение слова «Производящая функция»

Большая советская энциклопедия:

Производящая функция
Последовательности f0, f1..., fn... функция

(в предположении, что этот степенной ряд сходится хотя бы для одного значения t 0). П. ф. называют также генератрисой. Последовательность f0, f1..., fn... может быть как числовая, так и функциональная; в последнем случае П. ф. зависит не только от t, но и от аргументов функций fn. Например, если fn = aqn где а и q — постоянные, то П. ф.

если fn — Фибоначчи числа; f0 = 0, f1 = 1, fn+2 = fn+1 + fn, то П. ф.

если fn = Т n (х) — Чебышева многочлены: T0 (х) = 1, Tn (х) = cos (n arc cos x), то П. ф.

и т.д. Знание П. ф. последовательности часто облегчает изучение свойств последней. П. ф. применяются в теории вероятностей, в теории функций и в алгебре (в теории инвариантов). Впервые метод П. ф. был применен П. Лапласом для решения некоторых проблем теории вероятностей.
Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1967; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М. — Л., 1949.

Математическая энциклопедия:

Генератриса, числовой или функциональной последовательности — сумма степенного ряда с положительным радиусом сходимости. Если известна П. ф., то для изучения последовательности используются свойства коэффициентов Тейлора аналитич. ций. Для многочленов , ортогональных на интервале ( а, b).с весовой функцией h(х), при нек-рых общих условиях существует П. ф. Для классических ортогональных многочленов П. ф. представляется в явном виде через весовую функцию h(х).и используется для вычисления значений этих многочленов в отдельных точках, а также для вывода различных тождественных соотношений между этими многочленами и их производными. В теории вероятностей П. ф. случайной величины x, принимающей целочисленные значения с вероятностями , определяется формулой С помощью П. ф. вычисляются распределения вероятностей случайной величины x, ее математич. ожидание и дисперсия: П. ф. случайной величины x можно определить как математич. ожидание случайной величины zx , то есть Лит.:.[1] Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ.,М., 1962; [2] Суетин П. К., Классические ортогональные многочлены, 2 изд., М., 1979; [3] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1967. П. К. Суетин.

Смотреть другие определения →