Большая советская энциклопедия:
Приближение функций комплексного переменного
Раздел комплексного анализа, изучающий вопросы приближённого представления (аппроксимации) функций комплексного переменного посредством аналитических функций (См. Аналитические функции) специальных классов. Центральная проблематика относится к приближению функций полиномами и рациональными функциями. Основными являются задачи о возможности приближения, скорости приближения и аппроксимационных свойствах различных способов представления функций (интерполяционных последовательностей и рядов, рядов по ортогональным полиномам и полиномам Фабера, разложений в непрерывные дроби и т.п.). Теория приближений тесно связана с др. разделами комплексного анализа (теорией конформных отображений, интегральными представлениями, теорией потенциала и др.); многие теоремы, формулируемые в терминах теории приближений, являются, по существу, глубокими результатами о свойствах аналитических функций и природе аналитичности.
Одним из первых результатов о полиномиальной аппроксимации является теорема Рунге, согласно которой любая функция, голоморфная в односвязной области плоскости комплексного переменного z, может быть равномерно аппроксимирована на компактных подмножествах (см. Компактность) этой области посредством полиномов от z. Общая задача о возможности равномерного приближения полиномами ставится так: для каких компактов К в комплексной плоскости любая функция f, непрерывная на К и голоморфная на множестве внутренних точек К, допускает равномерную аппроксимацию на К (с любой степенью точности) посредством полиномов от z. Необходимым и достаточным условием возможности такой аппроксимации является связность дополнения компакта К. Эта теорема для компактов без внутренних точек была доказана М. А. Лаврентьевым (1934), для замкнутых областей — М. В. Келдышем (1945) и в общем случае — С. Н. Мергеляном (1951).
Пусть Еп = En (f, K) — наилучшее приближение функции f на компакте К посредством полиномов от z степени не выше n (в равномерной метрике). Если К — компакт со связным дополнением и функция f голоморфна на К, то последовательность {Еп} стремится к нулю быстрее некоторой геометрической прогрессии: En < qn, 0 < q = q < 1 (n > N). Если f непрерывна на К и голоморфна во внутренних точках К, то скорость её полиномиальной аппроксимации зависит как от свойств f на границе К (модуль непрерывности, дифференцируемость), так и от геометрических свойств границы К.
Другие направления исследований — равномерные и наилучшие приближения рациональными функциями, приближения целыми функциями, весовые приближения полиномами, приближения полиномами и рациональными функциями в интегральных метриках. Большое внимание уделяется проблематике, связанной с приближением функций нескольких комплексных переменных.
Лит.: Уолш Д.-Л., Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области, пер. с англ., М,, 1961; Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 2, М., 1968; Смирнов В. И.. Лебедев Н. А., Конструктивная теория функций комплексного переменного, М. — Л., 1964; Мергелян С. Н., Приближения функций комплексного переменного. в кн.: Математика в СССР за сорок лет. 1917—1957, т. 1, М., 1959, с. 383-98; Гончар А. А., Мергелян С. Н., Теория приближений функций комплексного переменного, в кн.: История отечественной математики, т. 4, кн. 1, К,, 1970, с. 112—78.
А. А. Гончар.
Математическая энциклопедия:
Раздел комплексного анализа, изучающий вопросы приближенного представления (аппроксимации) функций комплексного переменного посредством аналитич. ций специальных классов. Основными в теории П. ф. к. п. являются задачи о возможности приближения, скорости приближения и об аппроксимационных свойствах различных способов представления функций (интерполяционных последовательностей и рядов, рядов по ортогональным многочленам и многочленам Фабера, разложений в непрерывные дроби и аппроксимаций Паде, последовательностей полиномов из экспонент и рядов Дирихле и т. п.). Теория П. ф. к. п. тесно связана с другими разделами комплексного анализа и математики в целом; в теории приближений важную роль играют методы и результаты конформных отображений, интегральные представления, теория потенциала, теория функциональных алгебр и др. Центральная проблематика теории П. ф. к. п. относится к приближению функций многочленами и рациональными функциями, в частности многочленами и рациональными функциями наилучшего приближения (существование, характеристич. свойства, единственность), а также экстремальные задачи и различные оценки для многочленов и рациональных функций (оценки роста, неравенства для производных, многочлены и рациональные функции, наименее уклоняющиеся от нуля, и т. 6) Если Е — компакт со связным дополнением Gи в G существует Грина функция (первой краевой задачи для уравнения Лапласа) g(z, ) с полюсом в , то при для любого многочлена Р(z) степени псправедливо неравенство 7) Если Е — ограниченный невырожденный континуум со связным дополнением G, f(z) непрерывна на Ес модулем непрерывности w(d) и аналитична во внутренних точках E, то где Если замкнутая область ограничена аналитической кривой Г, то условие эквивалентно выполнению для f(p)(z) в G условия Гельдера порядка a, 0<a<1. Изучен также случай, когда Г — кусочно гладкая кривая с углами. 8) В ряде случаев эффективным аппаратом приближения аналитич. ций являются различные интерполяционные процессы, в том числе Паде аппроксимации и их обобщения. 9) При n2 в существуют как незамкнутые жордановы кривые, на к-рых не каждая непрерывная функция равномерно с любой точностью приближается многочленами от (z1 ,... , zn), так и замкнутые жордановы кривые, на к-рых многочленами равномерно приближается любая непрерывная функция. В это невозможно. 10) К настоящему времени (1983) имеется сравнительно мало прямых теорем теории приближения рациональными функциями со свободными полюсами (т. е. без всяких условий на расположение полюсов приближающей функции) и значительное количество обратных теорем. Е. П. Долженко. Лит.:[1] Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, М., 1954; [2] Уолш Дж. Л., Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области, пер. с англ., М., 1961 (там же, Приложение: Мергеля н С. Н., О некоторых результатах в теории равномерных и наилучших приближений полиномами и рациональными функциями, с. 461-99); [3] Смирнов В. И., Лебедев Н. А., Конструктивная теория функций комплексного переменного, М.-Л., 1964; [4] Дзядык В. К., Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, М., 1977; [5] Русак В. Н., Рациональные функции как аппарат приближения, Минск, 1979; [6] Гамелин Т., Равномерные алгебры, пер. с англ., М., 1973; [7] Леонтьев А. Ф., Ряды экспонент, М., 1976; [8] Некоторые вопросы теории приближений, пер. с англ., М., 1963; [9] Келдыш М. В., "Докл. АН СССР", 1936, т. 4, с. 163-66; [10] Лаврентьев М. А., "Тр. Физ.-матем. ин-та АН СССР", 1934, т. 5, с. 159-245; [11] Колмогоров А. Н., "Успехи матем. наук", 1948, т. 3, в. 1, с. 216-21; [12] Мергелян С. Н., там же, 1952, т. 7, в. 2, с. 31-122; [13] Витушкин А. Г., там же, 1967, т. 22, в. 6, с. 141-99; [14] Джрбашян М. М., "Матем. сб.", 1955, т. 36, с. 353-440; 115] Гончар А. А., в кн.; Тр. Международного конгресса математиков. Москва, 1966, М., 1968, с. 329-56; [16] Долженко Е. П., Ульянов П. Л., "Вести. Моск. ун-та. Сер. матем. Мех.", 1980, № 1, с. 3-13; [17] Мергелян С. Н., в кн.: Математика в СССР за сорок лот, т. 1, М., 1959, с.383-98; [18] Гончар А. А., Мергелян С. Н., в кн.: История отечественной математики, т. 4, кн. 1, К., 1970, с. 112-93; [19] Тамразов П. М., Гладкости и полиномиальные приближения, К., 1975; [20] Мельников М. С., Синанян С. О., в кн.: Современные проблемы математики, т. 4, М., 1975, с. 143-250.
© «СловоТолк.Ру» — толковые и энциклопедические словари, 2007-2020