Определение слова «Положительно Определенная Функция»

Математическая энциклопедия:

Комплекснозначная функция j на группе G, удовлетворяющая неравенству для любых наборов Совокупность П. о. ф. на G образует конус в пространстве М(G).всех ограниченных функций на G, замкнутый относительно операций умножения и комплексного сопряжения. Причина выделения этого класса функций состоит в том, что именно П. о. ф. определяют положительные функционалы на групповой алгебре и унитарные представления группы G. Точнее, пусть — произвольная функция и — функционал, заданный равенством тогда для положительности fj необходимо и достаточно, чтобы j была П. о. ф. Далее, fj определяет *-представление алгебры в гильбертовом пространстве Hj и, следовательно, унитарное представление pj группы G, причем для нек-рого . Обратно, Для любого представления p и любого вектора функция является П. о. ф. Если G- топологич. группа, то представление pj слабо непрерывно тогда и только тогда, когда П. о. ф. непрерывна. Если Gлокально компактна, то непрерывные П. о. ф. взаимно однозначно соответствуют положительным функционалам на L1(G). Для коммутативных локально компактных групп класс П. о. ф. совпадает с классом преобразований Фурье конечных положительных мер на двойственных группах. Имеется аналог этого утверждения для компактных групп: непрерывная функция j на компактной группе Gявляется П. о. ф. тогда и только тогда, когда ее преобразование Фурье принимает положительные (операторные) значения на каждом элементе двойственного объекта, т, е. для всякого представления s и всякого вектора Лит.:[1] Xьюитт Э., Росс К., Абстрактный гармонический анализ, пер. с англ., т. 2, М., 1975; [2] Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968. В. С. Шулъман.

Смотреть другие определения →