Толковый словарь Ефремовой:
подстановка ж.
Процесс действия по гл. подстановить
Толковый словарь Ушакова:
ПОДСТАНО́ВКА, подстановки, ·жен. (·книж. ). Действие по гл. подставить в 4 ·знач. — подставлять; замена одного другим. Решить задачу без подстановки буквенных показателей. Подстановка целого числа.
Большой энциклопедический словарь:
ПОДСТАНОВКА — закон, сопоставляющий каждому натуральному числу 1, 2, ..., n другое число из той же последовательности, причем различным элементам а и b соответствуют различные элементы а1 и b1; для подстановки принята запись: где ?1, ?2, ..., ?n — числа 1, 2, ..., n, записанные в ином порядке.
Большая советская энциклопедия:
Подстановка
Элементов данного множества (математическая), замена каждого из его элементов а каким-либо другим элементом (а) из того же множества; при этом должны получаться все элементы исходного множества и каждый только один раз. Таким образом, понятие П. по существу совпадает с понятием взаимно однозначного отображения множества на себя (см. Взаимно однозначное соответствие), однако оно применяется большей частью к конечным множествам. Только этот случай и рассматривается ниже. Для П. принята запись
,
здесь под каждым из элементов данного множества написан соответствующий ему элемент. Так как свойства П. не зависят от природы элементов а, b,..., с, то большей частью (во всяком случае — в учебных целях) используют целые числа 1, 2,..., n, при этом в верхней строке они преимущественно записываются в своём естественном порядке; П. принимает вид
или проще
,
где 1, 2,..., n — те же числа 1, 2,..., n, но записанные, возможно, в каком-либо ином порядке. Т. о., вторая строка П. образует перестановку (См. Перестановка) 1, 2,..., n из чисел 1, 2,..., n. Различных П. из n элементов существует столько же, сколько и перестановок, т.е. n! = 123...n. Подстановка
,
оставляющая на месте все элементы, называется единичной, или тождественной. Для каждой подстановки А существует обратная, т. е. такая, которая переводит i в i; она обозначается через А-1. Например,
;
.
Результат последовательного применения двух подстановок А и В снова будет некоторой подстановкой С: если А переводит i в i, а В переводит i в i, то С переводит i в i. Подстановка С называется произведением подстановок А и В, что записывается так: С = АВ. Например, если
; ,
.
При умножении П. не выполняется закон коммутативности, т. е., вообще говоря, АВ ВА; так, в том же примере
.
Легко видеть, что IA = AI = А, АА-1= А-1А = I, А (ВС) = (АВ) С (ассоциативный закон). Т. о., все П. из n элементов образуют группу (См. Группа), называемую симметрической группой (См. Симметрическая группа) степени n.
П., переставляющая местами только 2 элемента i и j, называют транспозицией и обозначается так: (i, j), например
Любую П. можно разложить в произведение транспозиций. Число множителей при разложении разными способами данной П. в произведение транспозиций всегда будет либо чётным, либо нечётным. В соответствии с этим и П. называют либо чётной, либо нечётной; например, А = (1, 3)(5, 4)(5, 1) — нечётная П. Чётность П. можно определить также по числу инверсий, т. е. по числу нарушений порядка в нижней строке П., если числа верхней строки расположены в их естественном порядке: чётность П. совпадает с чётностью числа инверсий; например, в нижней строке подстановки А имеется 5 инверсий, т. е. случаев, когда большее число стоит раньше меньшего: (3, 2), (3, 1),(2, 1), (5, 1) и (5, 4). Существует n!/2 чётных и n!/2 нечётных П. из n элементов.
П., циклически переставляющая данную группу элементов, а остальные элементы оставляющая на месте, называется циклом. Число переставляемых элементов называют длиной цикла. Например, подстановка А есть цикл длины 4: она переводит 1 в 3, 3 в 5, 5 в 4, 4 в1; коротко это записывается так: А = (1, 3, 5, 4). Транспозиция есть цикл длины 2. Любую П. можно разложить в произведение независимых (т. е. не имеющих общих элементов) циклов. Например,
Термин «П.» в интегральном исчислении (См. Интегральное исчисление) означает замену переменной в подынтегральной функции.
Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М. — Л., 1971.
Толковый словарь Кузнецова:
подстановка
ПОДСТАНОВКА см. Подставить.
Малый академический словарь:
подстановка
-и, ж.
Действие по глаг. подставить—подставлять (в 3 знач.).
Подстановка числовых показателей в буквенное алгебраическое выражение.
Математическая энциклопедия:
Множества — взаимно однозначное отображение множества на себя. Термин "П." главным образом применяется для конечного множества X. В этом случае удобно считать, что , изаписывать П. в виде (*) где i1, i2, . . ., in — нек-рая перестановка чисел 1, 2, . . ., n (впрочем, иногда термин "перестановка" употребляется как синоним термина "П.", см., напр., [2] с. 146). Запись (*) означает, что gпереводит число kв ik, то есть y(k)=ik (пишут также kg=ik).для i=1, 2, . . ., n. Число всех различных П. множества Xпри |Х| = n равно числу всех перестановок этого множества, т. е. n!. Произведение подстановок a и b множества определяется как последовательное выполнение отображений a и b и задается формулой ab(x)=a(b(x)) для всех . Совокупность всех П. множества Xобразует группу относительно введенного умножения, к-рая наз. симметрической группой. Любая подгруппа симметрич. группы наз. подстановок группой. Симметрич. группа П. множества Xобозначается S(X), она содержит в качестве подгруппы SF(X) — группу, состоящую из таких подстановок g, к-рые перемещают лишь конечное подмножество элементов (то есть лишь для конечного множества элементов ). Если Xконечно и состоит из пэлементов, то симметрич. группа обозначается Sn. Транспозицией наз. такая П. множества X, к-рая меняет местами только два элемента iи j; она обозначается (i, j). В S п имеется ровно ( п-1)/2 транспозиций. Любая подстановка g. из SF(X).представима в виде произведения транспозиций. В частности, каждая П. из Sn есть произведение транспозиций. П. может разлагаться в произведение транспозиций многими способами. Однако для данной g. характер четности числа множителей в разложении на транспозиции не зависит от способа разложения. П., представимая в виде произведения четного числа транспозиций, наз. четной, а разлагающаяся в произведение нечетного числа транспозиций — нечетной. В Sn имеется n!/2 четных П. и столько же нечетных. Если П. записана в виде (*), то ее четность совпадает с четностью числа инверсий перестановки i1, . . ., in к-рое равно числу таких пар , что k<j, ik>ij. Транспозиция, очевидно, есть нечетная II. Применение одной транспозиции к любой перестановке меняет четность числа ее инверсий на противоположную. Произведение двух четных, а также двух нечетных П. ость четная П., а четной и нечетной П. (в любом порядке) — нечетная. Все четные П. составляют нормальную подгруппу (X).в группе SF(X), к-рая наз. знакопеременной. При |Х|= п подгруппа (X).обозначается А п. Циклом длины lназ. такая подстановка а конечного множества =x, а бесконечные — где при . Циклы, индуцируемые подстановкой Y на подмножествах разбиения, наз. независимыми циклами подстановки g. Например, (1, 3, 4) и (2, 5)- независимые циклы П. g записывается в виде и является произведением своих независимых циклов. Вообще, если g нетождественная П., имеющая лишь конечное число циклов неединичной длины, то g — произведение таких циклов. В частности, каждая нетождественная П. из SF(X).является произведением своих независимых циклов неединичной длины. Порядок подстановки g из SF(X), т. е. порядок циклич. группы <g>, равен наименьшему общему кратному длин ее независимых циклов. Из независимых циклов данной П. можно получить независимые циклы П., сопряженной с ней. Напр., если произведение независимых циклов подстановки g из Sn, а и d( а i)=bi, i=l, . . ., п, то — разложение подстановки в произведение независимых циклов. Две П. группы Sn тогда и только тогда сопряжены в Sn, когда они имеют одно и то же число независимых циклов каждой длины. Пусть , k — число независимых циклов подстановки s, включая и циклы длины 1. Тогда разность п-kназ. декрементом подстановки s. Наименьшее число множителей при разложении подстановки s в произведение транспозиций совпадает с ее декрементом. Четность П. совпадает с четностью ее декремента. П. возникли впервые в комбинаторике 18 в. В кон. 18 в. Ж. Лагранж (J. Lagrange) применил их при исследовании разрешимости алгебраич. уравнении в радикалах. О. Коши (A. Cauchy) посвятил многочисленные исследования этому понятию. Ему, в частности, принадлежит идея разложения П. в произведение циклов. Исследования групповых свойств П. восходит к Н. Абелю (N. Abel) и особенно к Э. Галуа (Е. Galois). См. Галуа теория, Подстановок группа. Лит.:[1] Jordan С., Traite des substitutions et des equations altfebriques, P., 1057; [2] Кострикин А. И., Введение в алгебру, М., 1977; [3] Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975; [4] Холл М., Теория групп, пер. с англ., М., 1962. Д. А. Супруненко.
Толковый словарь Ожегова:
ПОДСТАНОВКА см. подставить.
Грамматический словарь Зализняка:
Подстановка, подстановки, подстановки, подстановок, подстановке, подстановкам, подстановку, подстановки, подстановкой, подстановкою, подстановками, подстановке, подстановках
© «СловоТолк.Ру» — толковые и энциклопедические словари, 2007-2020