Определение слова «Открытое Отображение»

Математическая энциклопедия:

Отображение одного топологич. пространства в другое, при к-ром образ каждого открытого множества открыт. Проектирование топологич. произведении на сомножители — О, о. Открытость отображения можно толковать как вид непрерывности обратного к нему многозначного отображения. Взаимно однозначное непрерывное О. о. на — гомеоморфизм. В общей топологии О. О. применяются при классификации пространств. Важен вопрос о поведении топологич. инвариантов при не прерывных О. о. Все пространства с первой аксиомой счетности и только они являются образами метрич. пространств при непрерывных 0. о. Метризуемое пространство, являющееся образом полного метрич. пространства при непрерывном О. о., метризуемо полной метрикой. Если паракомпакт является образом полного метрич. пространства при непрерывном О. о., то он метризуем. Счетнократное непрерывное О. о. компактов не повышает размерности. Но трехмерный куб можно непрерывно и открыто отобразить на куб любой большей размерности. Каждый бикомпакт является образом некоего одномерного бикомпакта при непрерывном О. о. с нульмерными прообразами точек. Самостоятельное значение имеют непрерывные О. о., при к-рых прообразы всех точек бикомпактны,- т. н. открытые бикомпактные отображения. Пространства с равномерной базой и только они являются образами метрич. пространств при бикомпактных О. о. Важны замкнутые непрерывные О. о. Таковы все непрерывные О. о. бикомпактов в хаусдор-фовы пространства. Непрерывные замкнутые О. о. сохраняют метризуемость. О. о. с дискретными прообразами точек играют существенную роль в теории функций одного комплексного переменного: таковы все голоморфные в области функции. Теорема об открытости голоморфных функций играет центральную роль при доказательстве принципа максимума модуля, при доказательстве фундаментальной теоремы о существовании корня у произвольного непостоянного многочлена над полем комплексных чисел. Лит.:[1] Куратовский К., Топология, [пер. с англ.], т. 1-2, М., 1966-69; [2] Келдыш Л. В., в кн.: Тр. 3 Всесоюзного математического съезда, т. 3, М., 1958, с. 368-72; [3] Стоилов С., Теория функций комплексного переменного, пер. с рум., т. 1, М., 1962. А. В. Архангельский.

Смотреть другие определения →