Большой энциклопедический словарь:
НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ (распределение Гаусса) — распределение вероятностей случайной величины Х, характеризуемой плотностью вероятности где a — математическое ожидание, ?2 — дисперсия случайной величины Х. Возникает нормальное распределение, когда данная случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, каждая из которых играет в образовании всей суммы незначительную роль.
Большая советская энциклопедия:
Нормальное распределение
Одно из важнейших распределений (См. Распределение) вероятностей. Термин «Н. р.» применяют как по отношению к распределениям вероятностей случайных величин, так и по отношению к совместным распределениям вероятностей нескольких случайных величин (т. е. к распредслениям случайных векторов).
Распределение вероятностей случайной величины Х называется нормальным, если оно имеет Плотность вероятности
. (*)
Семейство Н. р. (*) зависит, т. о., от двух параметров а и . При этом Математическое ожидание Х равно а, Дисперсия Х равна 2. Кривая Н. р. у = р (х; а, ) симметрична относительно ординаты, проходящей через точку х = а, и имеет в этой точке единственный максимум, равный . С уменьшением кривая Н. р. становится всё более и более островершинной (см. рис.). Изменение а при постоянном не меняет форму кривой, а вызывает лишь её смещение по оси абсцисс. Площадь, заключённая под кривой Н. р., всегда равна единице. При a = 0, = 1 соответствуюшая функция распределения равна
.
В общем случае функция распределения Н. р. (*) F (х; а, ) может быть вычислена по формуле F (x; а, ) = Ф (t), где t = (х — а)/. Для функции Ф (t) (и нескольких её производных) составлены обширные таблицы. Для Н. р. вероятность неравенства , равная 1— Ф (k)+ Ф (— k), убывает весьма быстро с ростом k (см. таблицу).
------------------------------------
| k | Вероятность |
|----------------------------------|
| 1 | 0,31731 |
|----------------------------------|
| 2 | 0,04550 |
|----------------------------------|
| 3 | 0,00269 |
|----------------------------------|
| 4 | 0,00006 |
------------------------------------
Во многих практических вопросах при рассмотрении Н. р. пренебрегают поэтому возможностью отклонений от а, превышающих 3, — т. н. правило трёх сигма (соответствующая вероятность, как видно из таблицы, меньше 0,003). Вероятное отклонение для Н. р. равно 0,67449.
Н. р. встречается в большом числе приложений. Издавна известны попытки объяснения этого обстоятельства. Теоретическое обоснование исключительной роли Н. р. дают Предельные теоремы теории вероятностей (см. также Лапласа теорема, Ляпунова теорема). Качественно соответствующий результат может быть объяснён следующим образом: Н. р. служит хорошим приближением каждый раз, когда рассматриваемая случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, максимальная из которых мала по сравнению со всей суммой.
Н. р. может появляться также как точное решение некоторых задач (в рамках принятой математической модели явления). Так обстоит дело в теории случайных процессов (См. Случайный процесс) (в одной из основных моделей броуновского движения (См. Броуновское движение)). Классические примеры возникновения Н. р. как точного принадлежат К. Гауссу (закон распределения ошибок наблюдения) и Дж. Максвеллу (закон распределения скоростей молекул).
Совместное распределение нескольких случайных величин X1, X2,..., Xs называется нормальным (многомерным нормальным), если соответствующая плотность вероятности имеет вид:
, где ,
qk, l = ql, k — положительно определенная квадратичная форма. Постоянная С определяется из того условия, что интеграл от р по всему пространству равен 1. Параметры a1,..., as равны математическим ожиданиям X1,..., Xs соответственно, а коэффициент qk, l могут быть выражены через дисперсии 12,..., s2 этих величин и коэффициент корреляции (См. Корреляция) k, l между Xk и Xl. Общее количество параметров, задающих Н. р., равно
(s + 1)(s + 2)/2 — 1
и быстро растет с ростом s (оно равно 2 при s = 1, 20 при s = 5 и 65 при s = 10). Многомерное Н. р. служит основной моделью статистического анализа многомерного (См. Статистический анализ многомерный). Оно используется также в теории случайных процессов (где рассматривают также Н. р. в бесконечномерных пространствах).
О вопросах, связанных с оценкой параметров Н. р. по результатам наблюдений, см. статьи Малые выборки и Несмещенная оценка (См. Несмещённая оценка). О проверке гипотезы нормальности см. Непараметрические методы (в математической статистике).
Лит. см. при ст. Распределения.
Ю. В. Прохоров.
Кривые плотности нормального распределения для различных значений параметров а и : I. а = 0, = 2,5; II. a = 0, = 1; III. a = 0, = 0,4; IV. a = 3, = 1.
Математическая энциклопедия:
Одно из важнейших распределений вероятностей. Термин "Н. р.", принадлежащий К. Пирсону (К. Pearson) (более старые названия Гаусса закон, Гаусса- Лапласа распределение), применяют как по отношению к распределениям вероятностей случайных величин, так и по отношению к совместным распределениям вероятностей нескольких случайных величин (т. е. к распределениям конечномерных случайных векторов), а также случай ных элементов и случайных процессов. Общее определение Н. р. сводится к одномерному случаю. Распределение вероятностей случайной величины Xназ. нормальным, если оно имеет плотность вероятности Семейство Н. р. (*) зависит, т. о., от двух параметров и >0. При этом математич. ожидание Xравно а, дисперсия Xравна , а характеристич. функция имеет вид Кривая Н. р.симметрична относительно ординаты, проходящей через точку и имеет в этой точке единственный максимум, равный С уменьшением кривая Н. р. становится все более островершинной. Изменение апри постоянном не меняет форму кривой, а вызывает лишь ее смещение по оси абсцисс. Площадь, заключенная под кривой Н. р., всегда равна единице. При соответствующая функция распределения равна В общем случае функция распределения Н. р. (*) может быть вычислена по формуле Для функции (и нескольких ее производных) составлены обширные таблицы (см., напр., [1] , [2] и ст. Интеграл вероятности). Для Н. р. вероятность неравенства равная убывает весьма быстро с ростом к(см. табл.). Во многих практич. вопросах при рассмотрении Н. р. пренебрегают поэтому возможностью отклонений от а, превышающих ,- т. н. правило трех сигма (соответствующая вероятность, как видно из табл., меньше 0,003). Вероятное отклонение для Н. р. равно Н. где — квадратичная форма, обратная , параметры равны математич. ожиданиям соответственно, а постоянная Общее количество параметров, задающих Н. р., равно и быстро растет с ростом п. (оно равно 2 при n=1, 20 при п=5и 65 при n=10). Многомерное Н. р. служит основной моделью многомерного статистического анализа. Оно используется также в теории случайных процессов (где рассматриваются Н. р. в бесконечномерных пространствах, см. Случайный элемент, а также Винера мера, Винеровский процесс, Гауссовский процесс). Из важных свойств Н. р. необходимо отметить следующие. Сумма Xнезависимых случайных величин Х 1 и Х 2, имеющих Н. р., имеет Н. р.; обратно, если Х=Х 1+Х 2 имеет Н. р. и Х 1 и X2 независимы, то X1 и Х 2 имеют Н. р. (теорема Крамера). Это свойство обладает определенной "устойчивостью": если распределение X"близко" к Н. р., то и распределения X1 и Х 2"близки" к Н. р. С Н. р. связаны нек-рые другие важные распределения (см. Логарифмически нормальное распределение, Нецентральное "хи-квадрат" распределение, Стьюденша распределение, Уишарта распределение, Фишера z-распределение, Хотеллинга Т 2 -распре-селение, чХи-квадрат" распределение). Для приближенного представления распределений, близких к Н. р., широко применяются ряды типа Эджворта рядов и Грама- Шарлъе рядов. О вопросах, связанных с оценкой параметров Н. р. по результатам наблюдений, см. ст. Несмещенная оценка. О проверке гипотезы нормальности см. Непараметрические методы статистики. См. также Вероятностная бумага. Лит.:[1] Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968; [2] Таблицы нормального интеграла вероятностей, нормальной плотности и ее нормированных производных, М., 1960; [3] Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969; [4] Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [5] Кендалл М. Д ж., Стьюарт А., Теория распределений, пер. с англ., М., 1966; [6] Их же, Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973. Ю. В. Прохоров.
© «СловоТолк.Ру» — толковые и энциклопедические словари, 2007-2020