Определение слова «Нормальная форма матриц»

Большая советская энциклопедия:

Нормальная форма матриц
(жорданова)
С каждой квадратной матрицей (См. Матрица) связан целый класс матриц, подобных матрице А. В этом классе всегда существует матрица, имеющая специальную нормальную (или каноническую) жорданову форму [термин «Н. (ж.) ф. м.» связан с именем К. Жордана]. На схеме показана жорданова форма некоторой матрицы 8-го порядка:

(1)
Вдоль главной диагонали расположены специальные квадратные клетки (на схеме они обведены пунктиром). Все элементы матрицы, расположенные вне этих клеток, равны нулю. В каждой диагональной клетке вдоль главной диагонали повторяется одно и то же (комплексное) число (в первой клетке 1, во второй 2 и т.д.); параллельный ряд над главной диагональю состоит из единиц. Все же остальные элементы в диагональных клетках равны нулю. На приведённой схеме имеются три диагональные клетки, из которых первая имеет порядок 4, вторая и третья — порядок 2. В общем же случае число клеток и порядки их могут быть любыми. Среди чисел 1, 2,... возможны и равные. Исходная матрица А в указанном примере имеет следующие Элементарные делители: ( — 1)4, ( — 2)2, ( — 3)2. По элементарным делителям матрицы однозначно определяется её жорданова форма.
Если матрица А имеет жорданову форму I, то существует неособенная матрица Т такая, что А = TIT-1. Замену матрицы А подобной ей матрицей I называют приведением матрицы А к нормальной жордановой форме.
Представление о применениях жордановой формы матрицы можно получить на примере системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

……………………………………….

в матричной записи:

Введём новые неизвестные функции y1, у2,... yn при помощи неособенной матрицы [tik — числа (i, k = 1, 2, …, n)]:

,

,
…………………………………….

;
в матричной записи:
х = Ту.
Подставляя это выражение для x в (2), получим:

где матрица I связана с матрицей А равенством:
А=TIT-1.
Обычно матрицу Т подбирают так, чтобы матрица А имела жорданову форму. В этом случае система уравнений (3) значительно проще системы (2). Так, например, при n = 8, если матрица имеет жорданову форму (1), то система (3) будет иметь вид:

, ,

, ,

, ,

, .
Интегрирование такой системы сводится к многократному интегрированию одного дифференциального уравнения.
Лит. см. при ст. Матрица.

Жорданова форма некоторой матрицы 8-го порядка (1).

Смотреть другие определения →