Определение слова «Ньютона метод»

Большая советская энциклопедия:

Ньютона метод
Метод приближённого нахождения корня x0 уравнения f (x) = 0, называемый также методом касательных. Н. м. состоит в том, что по исходному («первому») приближению х = a1 находят второе (более точное), проводя касательную к графику (см. рис.) у = f (x) в точке А [а1 f (a1)] до её пересечения с осью Ox; точка пересечения х = a1 — f (a1)/f’(a1) и принимается за новое значение a2. корня. Повторяя в случае необходимости этот процесс, получают всё более и более точные приближения a2, a3,... корня x0 при условии, что производная f’(x) монотонна и сохраняет знак на сегменте, содержащем x0. Ошибка 2 = x0 —a2 нового значения a2 связана со старой ошибкой 1 = x0 — a1 формулой , где — значение второй производной функции f (x) в некоторой точке x, лежащей между x0 и a1. Иногда рекомендуется Н. м. применять одновременно с к.-л. другим способом, например с Линейного интерполирования методом. Н. м. допускает обобщения, которые позволяют применять его для решения уравнений F (x) = 0 в нормированных пространствах (F— оператор в этом пространстве), в частности для решения систем уравнений и функциональных уравнений. Метод разработан И. Ньютоном в 1669.

Рис. к ст. Ньютона метод.

Математическая энциклопедия:

Метод касательны х,- метод приближенного нахождения корней действительного уравнения где f — дифференцируемая функция. Последовательные приближения Н. м. вычисляются по формулам Если функция дважды непрерывно дифференцируема, — простой корень уравнения (1) и начальное приближение лежит достаточно близко к , то Н. м. обладает квадратичной сходимостью, т. е. где с — константа, зависящая только от функции f и начального приближения Часто вместо (2) для решения задачи (1) применяется т. н. модифицированный метод Ньютона: При тех же предположениях, при к-рых Н. м. имеет квадратичную сходимость, метод (3) имеет линейную сходимость, т. е. сходится со скоростью геометрия, прогрессии со знаменателем меньше единицы. Применительно к решению нелинейного операторного уравнения с оператором где и — нек-рые банаховы пространства, обобщение (2) наз. методом Ньютона-Канторовича. Формулы этого метода имеют вид где — производная Фреше оператора Ав точке , являющаяся обратимым оператором, действующим из в . При специальных предположениях метод Ньютона — Канторовича обладает квадратичной сходимостью, а соответствующий модифицированный метод — линейной сходимостью. Н. м. разработан И. Ньютоном (I. Newton, 1669). Лит.:[1] Канторович Л. В., "Успехи матем. наук", 1948, т. 3, в. 6, с. 89 — 185; [2] Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977; [3] Коллатц Л., Функциональный анализ и вычислительная математика, пер. с нем., М., 1969; [4] Приближенное решение операторных уравнений, М., 1969; [5] Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975. Ю. А. Кузнецов.

Смотреть другие определения →