Определение слова «Минковского неравенство»

Большая советская энциклопедия:

Минковского неравенство
Неравенство вида

где ak и bk (k = 1, 2,..., n) — неотрицательные числа и r > 1. М. н. имеет аналоги для бесконечных рядов и интегралов; оно было установлено Г. Минковским (См. Минковский) в 1896 и выражает тот факт, что в n-мерном пространстве, для которого расстояние между точками x = (x1, x2, ..., xn) и y = (y1, y2, ..., yn) имеет величину

сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны.

Математическая энциклопедия:

1) Собственно М. н.: если действительные числа при i=l, . . ., n и р>1, то Выведено Г. Минковским [1]. При неравенство заменяется на противоположное (для р<0 следует считать ). В каждом из этих случаев равенство имеет место тогда и только тогда, когда строки и пропорциональны. При р=2 М. н. наз. неравенством треугольника. М. н. допускает обобщения в различных направлениях (они также носят названия неравенств Минковского ). Ниже приводятся нек-рые из них.2) М. н. для сумм. Пусть для i=1, ... . . ., пи j = 1, . . ., ти р>1, тогда Знак неравенства меняется на обратный при р<1, и для полагается . В каждом из этих случаев равенство имеет место тогда и только тогда, когда строки пропорциональны. Существуют также обобщения неравенств (1) на кратные и бесконечные суммы. Однако при использовании предельных процессов особого внимания требует формулировка случаев возможного равенства (см. [2]). Неравенства (1) и (2) однородны относительно , и потому они имеют аналоги для различных средних, напр., если где то подробнее см. в [2].3) М. н. для интегралов аналогично неравенству (2) и имеет место опять же вследствие однородности относительно . Пусть — интегрируемые функции в нек-рой области относительно элемента объема dV, тогда при р>1 Естественно получается обобщение неравенства (3) для большего числа функций. Дальнейшее обобщение: если k>1, то причем равенство имеет место лишь в случае 4) Другие неравенства типа М. н.: а) для произведений: если ,то б) неравенство Малера: пусть F(x)- обобщенная норма в — ее полярная функция. Тогда где (Х, Х) — скалярное произведение; в) для определителей: если А, В- неотрицательные эрмитовы матрицы над , то5) Наконец, с именем Г. Минковского связываются и др. неравенства, в особенности в выпуклом анализе и теории чисел, напр. Брунна- Минковского теорема. Лит.:[1] Minkowski H., Geometrie uer Zahlen, 1, Lpz., 1896, § 115-17; [2] Xарди Г. Г., Литтльвуд Д ж., Полна Г., Неравенства, пер. с англ., М., 1948; [3] Беккен6ах Э. Ф., Беллман Р., Неравенства, пер. с англ., М., 1965; [4] Маркус М., Минк X., Обзор по теории матриц и матричных неравенств, пер. с англ., М., 1972. М. И. Войцеховский.

Смотреть другие определения →