Определение слова «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ»

Большая советская энциклопедия:

Математическое ожидание
Среднее значение, одна из важнейших характеристик распределения вероятностей случайной величины (См. Случайная величина). Для случайной величины X, принимающей последовательность значений y1, y2, ..., yk, ... с вероятностями, равными соответственно p1, p2, ..., pk, …, М. о. определяется формулой

(в предположении, что ряд сходится). Так, например, если Х — число очков, выпадающее на верхней грани игральной кости (X принимает каждое из значений 1, 2, 3, 4, 5, 6 с вероятностью 1/6), то .
Для случайной величины, имеющей плотность вероятности р(у), М. о. определяется формулой

.
М. о. характеризует расположение значений случайной величины. Полностью эта роль М. о. разъясняется Больших чисел законом. При сложении случайных величин их М. о. складываются, при умножении двух независимых случайных величин их М. о. перемножаются. М. о. случайной величины eitX, то есть f (t) = Eeitxz, где t — действительное число, носит название характеристической функции (См. Характеристическая функция).
Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 4 изд., М., 1965.
Ю. В. Прохоров.

Математическая энциклопедия:

Среднее значение, случайной величины — числовая характеристика распределения вероятностей случайной величины. Самым общим образом М. о. случайной величины Х(w),определяется как интеграл Лебега по отношению к вероятностной мере в исходном вероятностном пространстве М. о. может быть вычислено и как интеграл Лебега от хпо распределению вероятностей Р Х величины X: где — множество всех возможных значений X. М. о. функций от случайной величины Xвыражается через распределение Р Х:напр., если X — случайная величина со значениями в и f(x) — однозначная бо-релевская функция х, то Если F(x) — функция распределения X, то М. о. представимо интегралом Лебега — Стилтьеса (или Римана — Стилтьеса) при этом интегрируемость Xв смысле (*) равносильна конечности интеграла В частных случаях, если Xимеет дискретное распределение с возможными значениями х k, k=1, 2, . . ., и соответствующими вероятностями то если Xимеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью вероятности р(х), то при этом существование М. о. равносильно абсолютной сходимости соответствующего ряда или интеграла. Основные свойства М. о.: а) б) ЕС=С для любого действительного С: в) для любых действительных a и b; г) если сходится ряд д) для выпуклых функции g(x). е) любая ограниченная случайная величина имеет конечное М. о. Кроме того, ж) для взаимно независимых случайных величин X1, ..., Х п. Естественным образом можно определить понятие случайной величины с бесконечным М. о. Типичным примером служат времена возвращения в нек-рых случайных блужданиях (см., напр., Бернулли блуждание). С помощью М. о. определяются многие числовые и функциональные характеристики распределения (как М. о. соответствующих функций от случайной величины), напр, производящая функция, характеристическая функция, моменты любого порядка, в частности дисперсия, ковариация. М. о. есть характеристика расположения значений случайной величины (среднее значение ее распределения). В этом качестве М. о. служит нек-рым "типичным" параметром распределения и его роль аналогична роли статич. момента — координаты центра тяжести распределения массы — в механике. От прочих характеристик расположения, с помощью к-рых распределение описывается в общих чертах,- медиан, мод, М. о. отличается тем большим значением, к-рое оно и соответствующая ему характеристика рассеяния — дисперсия — имеют в предельных теоремах теории вероятностей. С наибольшей полнотой смысл М. о. раскрывается больших чисел законом (см. также Чебышева неравенство )и больших чисел усиленным законом. В частности, для последовательности взаимно независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечными М. о.при для любого и, более того, с вероятностью единица. Понятие М. о. как ожидаемого значения случайной величины впервые наметилось в 18 в. в связи с теорией азартных игр. Первоначально термин "М. о." был введен как ожидаемый выигрыш игрока, равный для возможных выигрышей и соответствующих вероятностей Особые заслуги в обобщении и использовании понятия М. о. в современном его значении имеет П. Л. Чебышев. Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974; [2] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., тт. 1-2, М., 1967; [3] Лоэв М., Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962; [4] Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975. А. В. Прохоров.

Социологический словарь:

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ — англ. expected value; нем. Erwartung mathematische. Стохастическая средняя или центр рассеивания случайной величины.

Смотреть другие определения →