Определение слова «Лорана ряд»

Большая советская энциклопедия:

Лорана ряд
Ряд вида

, (*)
то есть ряд, расположенный как по положительным, так и по отрицательным степеням разности z — а (где z, а и коэффициенты ряда — комплексные числа). Совокупность членов с неотрицательными степенями представляет здесь обыкновенный Степенной ряд, сходящийся, вообще говоря, внутри круга с центром а и радиусом R ( ); остальные члены образуют ряд, сходящийся, вообще говоря, вне круга с тем же центром, но с радиусом r (r 0). Если r < R, то ряд (*) сходится в круговом кольце r < |z — а| < R; его сумма является в этом кольце аналитической функцией (См. Аналитические функции) комплексного переменного z.
Несмотря на то, что ряды вида (*) встречаются уже у Л. Эйлера (1748), они получили своё название по имени П. Лорана, который в 1843 показал, что всякая функция комплексного переменного, однозначная и аналитическая в кольце r < |z — а| < R, может быть разложена в этом кольце в такой ряд (это так называемая теорема Лорана). Впрочем, ту же теорему получил несколько раньше К. Вейерштрасс, но его работа была опубликована лишь в 1894.

Математическая энциклопедия:

Обобщение степенного ряда по целым неотрицательным степеням разности z-а или по целым неположительным степеням z-а в виде Ряд (1) понимается как сумма двух рядов: — правильная часть Л. р. и — главная часть Л. р. Ряд (1) считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части. Свойства Л. р.: 1) если область сходимости Л. р. содержит внутренние точки, то она представляет собой круговое кольцо с центром в точке ; 2) во всех внутренних точках кольца сходимости Dряд (1) сходится абсолютно; 3) как и для степенных рядов, поведение Л. р. в точках граничных окружностей может быть самым разнообразным; 4) на любом компактном множестве ряд (1) сходится равномерно; 5) сумма ряда (1) в Dесть аналитич. функция f(z); 6) ряд (1) можно дифференцировать и интегрировать в Dпочленно; 7) коэффициенты с k Л. р. определяются через его сумму f(z) формулами где — любая окружность с центром а, расположенная в D;8) разложение в Л. р. единственно, т. е. если в D, то все коэффициенты их Л. р. по степеням z-асовпадают. Для случая центра в бесконечно удаленной точке Л. р. принимает вид причем теперь правильной частью является а главной — Область сходимости ряда (3) имеет вид а формулы (2) переходят в формулы где В остальном все свойства те же, что и в случае конечного центра а. Применение Л. р. основано главным образом на теореме Лорана (1843): любая однозначная аналитич. функция f(z) в кольце представима в Dсходящимся Л. р. (1). В частности, в проколотой окрестности изолированной особой точки а однозначного характера аналитич. функция f(z) представима Л. р., к-рый и служит основным инструментом исследования ее поведения в окрестности изолированной особой точки. Для голоморфных функций f(z) многих комплексных переменных аналогом теоремы Лорана можно считать следующее предложение: всякую функцию f(z), голоморфную в произведении Dколец можно представить в Dв виде сходящегося кратного Л. р. в к-ром суммирование распространяется на все целочисленные мультииндексы где — произведение окружностей Область сходимости ряда (4) логарифмически выпуклая и является относительно полной кратно круговой областью. Однако применение кратных Л. р. (4) ограничено, поскольку при голоморфные функции f(z) не могут иметь изолированных особенностей. Лит.:[1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967, гл. 4; [2] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., М., 1976, ч. 1, гл. 2, ч. 2, гл. 1. Е. Д. Соломенцев.

Смотреть другие определения →