Определение слова «Линейное Дифференциальное Уравнение Второго Порядка»

Математическая энциклопедия:

Обыкновенное — уравнение вида где x(t) — искомая функция, a p(t), q(t).и r(t) — заданные функции, непрерывные на нек-ром промежутке (a, b). Для любых действительных чисел существует единственное решение x(t).уравнения (1) с начальными условиями причем x(t).определено для всех Если х 1(t).и x2(t) — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения a x0(t) — частное решение неоднородного уравнения (1), то общее решение уравнения (1) дается формулой где C1 и С 2 — произвольные постоянные. Если известно одно ненулевое решение х 1(t).уравнения (2), то второе его решение x2(t), линейно ненависимое с x1(t), дается формулой Если известны линейно независимые решения x1(t).и x2(t) уравнения (2), то частное решение x0(t).уравнения (1) можно найти методом произвольных постоянных вариации. При изучении уравнения (2) большую роль играют его преобразования в уравнения других типов. Так, напр., заменой уравнение (2) приводится к нормальной системе линейных уравнений 2-го порядка; заменой искомой функции уравнение (2) приводится к уравнению где наз. инвариантом уравнения (2); заменой уравнение (2) сводится к Риккати уравнению После умножения на уравнение (2) принимает самосопряженный вид Уравнение (2) интегрируется в квадратурах лишь в отдельных случаях. Решения наиболее важных частных типов неинтегрируемых уравнений (2) входят в число специальных функций. Справедлива теорема Штурма о разделении нулей: если x1(t), x2(t) — линейно независимые решения уравнения (2) и t1<t2 — соседние нули решения х 1(1), то на интервале (t1, t2) имеется в точности один нуль решения х 2(t). Пусть в уравнениях функции q1 и q2 непрерывны и q2(t)>q1(t).на промежутке (a, b). Справедлива теорема сравнения: если t1<t2 — последовательные нули ненулевого решения первого уравнения (3), то на интервале (t1, t2) имеется хотя бы один нуль любого решения второго уравнения (3). Линейная краевая задача для уравнения (1) ставится следующим образом: найти решение x(t).уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям где. — заданные постоянные и Штурма — Лиувилля задача для уравнения где q(t)>0 и непрерывна на [ а, b], ставится следующим образом: найти те значения параметра при к-рых это уравнение имеет ненулевое решение x(t), удовлетворяющее краевым условиям х(а)=х(b)=0. Эти значения наз. собственными значениями, а соответствующие решения — собственными функциями. Если в уравнении (2) t и x комплексны, а функции p(t).и q(t).голоморфны в точке t0, то для любых чисел существует единственное голоморфное в точке t0 комплексное решение x(t).уравнения (2), удовлетворяющее начальным условиям Если в уравнении функции р(t).и q(t).голоморфны в точке t0, причем хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то точка t0 наз. регулярной особой точкой для уравнения (4). В окрестности такой точки решение уравнения (4) отыскивается в виде обобщенного степенного ряда здесь находится из определяющего уравнения где p0=p(t0) и q0=q(t0). Пусть корни этого уравнения действительны. Если не является целым, то существуют два линейно независимых решения вида (5): при и при Если — целое, то, вообще говоря, существует лишь одно решение в виде (5) при второе решение имеет более сложный вид (см. [3]-[6]). Лит.:[1] Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1970; [2] Камке Э.,Справоч- ник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976; [3] Сансоне Д ж., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с итал., т. 1-2, М., 1953- 1954; [4] Хартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970; [5] Т р и к о м и Ф., Дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1962; [6] Голубев В. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 2 изд., М.- Л., 1950. Н. Н. Ладис.

Смотреть другие определения →