Определение слова «Граничные Задачи Теории Аналитических Функций»

Математическая энциклопедия:

Задачи нахождения аналитической в нек-рой области функции по заданному соотношению между граничными значениями ее действительной и мнимой частей. Впервые такая задача была поставлена в 1857 Б. Риманом (см. [1]). Д. Гильберт [2] исследовал граничную задачу в следующей постановке (задача Р и мана- Гильберта): найти функцию аналитическую в односвязной области с контуром , непрерывную в по граничному условию где — заданные на Lдействительные непрерывные функции. Первоначально Д. Гильберт привел эту задачу к сингулярному интегральному уравнению с целью дать пример приложения такого уравнения. Задача (1) может быть сведена к последовательному решению двух задач Дирихле. Полное исследование задачи, проведенное таким способом, имеется в [3]. Близкой к задаче (1) является задача, к к-рой пришел А. Пуанкаре [4] при разработке математич. теории приливов. Задача Пуанкаре состоит в определении гармонической в области функции по условию на границе Lэтой области: где — заданные на Lдействительные функции, s- дуговая абсцисса, п- нормаль к L. Под обобщенной задачей Римана — Гильберта — Пуанкаре (задача Р.-Г.-П.) понимается следующая линейная граничная задача: найти функцию , аналитическую в , по граничному условию где — интегро-дифференциальный оператор, определяемый формулой в к-рой — заданные на L, вообще комплексные, функции класса Н(т. е. удовлетворяющие условию Гельдера), — заданная действительная функция класса Н, — заданные на L, вообще комплексные, функции вида причем — функции класса Нпо обеим переменным. В правой части (4) под подразумевается граничное значение на Lизнутри области производной j-го порядка функции . Частным случаем задачи Р.- Г.- П. при , является задача Римана — Гильберта; задача Пуанкаре также является частным случаем сформулированной задачи. К задаче Р.- Г.- П. приводятся многие важные граничные задачи, напр, граничные задачи для уравнений с частными производными эллиптич. типа с двумя независимыми переменными. Задача Р.- Г.- П. была поставлена и в предположении, что и решена И. Н. Векуа [3]. В теории граничных задач важную роль играет понятие индекса задачи — целого числа, определяемого формулой где — приращение при однократном обходе контура в направлении, составляющем область слева. Задача Р.- Г.- П. редуцируется к сингулярному интегральному уравнению вида где — искомая действительная функция класса Н, с — искомая действительная постоянная, а функции выражаются через и Пусть и — числа линейно независимых решений соответствующего (5) однородного интегрального уравнения и союзного с ним однородного интегрального уравнения Числа связаны с индексом х задачи Р.- Г.- П. равенством Особый интерес представляет тот случай, когда задача разрешима при всякой правой части . Для того чтобы задача Р.- Г.- П. была разрешима при любой правой части , необходимо и достаточно, чтобы или , причем в последнем случае решение уравнения (6) должно удовлетворять условию в обоих случаях и однородная задача имеет ровно линейно независимых решений. При задача Р.- Г.- П. разрешима при любой правой части тогда и только тогда, когда . В случае задачи Римана — Гильберта имеют место следующие утверждения: 1) при неоднородная задача (1) разрешима при любой правой части и 2) при эта задача разрешима тогда и только тогда, когда , где Задача Римана — Гильберта тесно связана с так наз. задачей линейного сопряжения. Если L — простая гладкая или кусочно гладкая линия, состоящая из замкнутых контуров, ограничивающих нек-рую область плоскости комплексного переменного остающуюся слева при обходе L, то дополнение до плоскости обозначается через . Пусть функция задана и непрерывна в окрестности линии Lвсюду, кроме, быть может, самой L. Говорят, что функция непрерывно продолжима на точку слева (или справа), если стремится к определенному пределу [или ], когда z стремится к г по любому пути, оставаясь слева (или справа) от L. Функцию наз. кусочно аналитической с линией скачка L, если она аналитична в и и непрерывно продолжима на каждую точку как слева так и справа. В задаче линейного сопряжения требуется определить кусочно аналитич. функцию с линией скачка L, имеющую конечный порядок на бесквнечности, по граничному условию где и — заданные на функции класса Н. В предположении, что всюду на , целое число наз. индексом задачи линейного сопряжения. Когда — кусочно аналитический вектор, — квадратная -матрица и _ — вектор, причем целое число наз. суммарным индексом задачи линейного сопряжения. Понятия индекса и суммарного индекса играют важную роль в теории задачи линейного сопряжения (см. [5], [6], [7], [8]). На базе теории задачи линейного сопряжения построена теория одномерных сингулярных интегральных уравнений вида (5). Лит.:[1] Риман Б., Сочинения, пер. с нем., М.-Л., 1948; [2] Hilbert D., Grundzuge einer altgemeinen Theorie der linearen Integralgleiehungen, Lpz.-В., 1912; [3] Векуа И.

Смотреть другие определения →