Определение слова «Наибольший общий делитель»

Большой энциклопедический словарь:

НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ — наибольшее из целых положительных чисел, на которое делится без остатка каждое из данных целых чисел. Напр., наибольший общий делитель 60, 84 и 96 есть 12.

Большая советская энциклопедия:

Наибольший общий делитель
Двух или нескольких натуральных чисел — наибольшее из чисел, на которые делится каждое из данных чисел. Например, Н. о. д. 45 и 72 есть 9, Н. о. д. 60, 84, 96 и 120 есть 12. Н. о. д. пользуются при сокращении дробей: наибольшее число, на которое могут быть сокращены числитель и знаменатель дроби, — их Н. о. д. Если известны разложения заданных чисел на простые множители, то для получения Н. о. д. этих чисел нужно составить произведение тех множителей, которые входят одновременно во все разложения, взяв каждый наименьшее число раз, какое он встречается. Так, 60 = 2235, 72 = 22233 и 252 = 22337; поэтому Н. о. д. 60, 72 и 252 есть 22З = 12. Общим приёмом отыскания Н. о. д. двух чисел является способ последовательного деления, указанный ещё в 3 в. до н. э. Евклидом (Евклида алгоритм). Он заключается в том, что большее из двух данных чисел делят на меньшее, затем меньшее — на остаток от первого деления, остаток от первого деления — на остаток от второго деления и т.д., до тех пор, пока не дойдут до остатка, равного нулю. Последний, отличный от нуля, остаток и будет Н. о. д. данных чисел. Например, чтобы найти Н. о. д. 3542 и 2464, выполняют последовательные деления: 3542 = 24641 + 1078, 2464 = 10782 + 308, 1078 = 3083 + 154, 308 = 1542. В остатке при последнем делении — нуль; следовательно, Н. о. д. 3542 и 2464 равен предпоследнему остатку, то есть 154. Если Н. о. д. двух чисел равен единице, то эти числа называют взаимно простыми. Н. о. д. d двух чисел а и b и Наименьшее общее кратное m этих чисел связаны соотношением dm = ab.
Понятие Н. о. д. применимо не только к числам. Так, например, Н. о. д. двух или нескольких многочленов есть многочлен наивысшей степени, на который делится каждый из данных. Для нахождения Н. о. д. многочленов применяются приёмы, совершенно аналогичные указанным выше для чисел (в частности, алгоритм Евклида).

Математическая энциклопедия:

Наибольший из общих делителей целых, в частности натуральных, чисел . Если данные числа не все равны нулю, то такой делитель существует. Н. о. д. чисел обычно обозначают символом Свойства Н. о. д.:1) Н. о. д. чисел делится на любой общий делитель этих чисел;2)3) если целые числа представлены в виде где — различные простые, то Н. о. д. двух натуральных чисел можно найти при помощи Евклида алгоритма. Число шагов, необходимых для отыскания Н. о. д. двух чисел, превосходит не более чем в пять раз число цифр наименьшего из них, записанного в десятичной системе счисления. Н. о. д. элементов области целостности наз. тот из общих делителей данных элементов, к-рый делится на любой из их общих делителей. Так, Н. о. д. двух многочленов над данным полем — тот их общий делитель, к-рый делится на любой из их общих делителей. Если Н. о. д. двух элементов области целостности существует, то он единствен с точностью до обратимого множителя. Н. о. д. идеалов данного кольца наз. идеал порожденный объединением множеств (см. Факториалъное кольцо). Лит.:[1] Виноградов И. М., Основы теории чисел, 9 изд., М., 1981; [2] Бухштаб А. А., Теория чисел, 2 изд., М., 1966; [3] Маркушевич А. И., Деление с остатком в арифметике и алгебре, М.- Л., 1949; [4] Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М., Современная математика, пер. с франц., М., 1966; [5] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968. А. А. Вухштаб, В. И. Нечаев.

Смотреть другие определения →