Математическая энциклопедия:
Комплекс методов исследования различных задач, используемый во многих разделах математики, механики, физики и техники. Здесь с общей точки зрения излагаются основные идеи В. т. В. т. основана на возможности приближенного описания исследуемой системы с помощью нек-рой специальным образом выбираемой "идеальной" системы, допускающей корректное и полное изучение. Одним из признаков применимости В. т. в одной из ее форм, определяемой спецификой конкретной задачи, для к-рой В. т. разрабатывается, является условие того, что уравнения, описывающие исследуемый процесс, содержат в явной или неявной форме малый параметр (или несколько таких параметров). При этом требуется, чтобы при нулевом значении малого параметра уравнения допускали точное решение, и таким образом проблема сводится к нахождению асимптотики наилучшего приближения к истинному решению с точностью до e, e 2, ... . 1) В. т. впервые была предложена для решения проблем небесной механики, связанных с изучением движения планет в солнечной системе. Удаленность планет друг от друга и малая величина их массы в сравнении с массой Солнца позволяют пренебрегать гравитационным взаимодействием планет между собой и рассматривать их движение (в первом приближении) по орбитам Кеплера, определяемым из уравнений двух тел задачи- планеты и Солнца. Существенное уточнение астрономич. данных сформулировало проблему учета влияния других планет на движение одной из них вокруг Солнца. Так возникла классическая трех тел задача, причем, напр., при изучении системы Луна — Земля — Солнце в качестве малого параметра выбиралось отношение масс Луны и Земли. Начиная с трудов Ж. Лагранжа (J. Lagrange), П. Лапласа (P. Laplace) было выдвинуто представление о том, что постоянные величины, характеризующие движение планеты вокруг Солнца, ввиду влияния движения других планет как бы "возмущаются" и претерпевают изменения, зависящие от времени; отсюда идет и наименование "теория возмущений". В. т. занимала внимание классиков Ж. Лагранжа, П. Лапласа, С. Пуассона (S. Poisson), К. Гаусса (С. Gauss) и в результате их работ оказалось возможным проводить вычисления с чрезвычайно большой точностью. Триумфом В. т. явилось открытие планеты Нептун (1848) Дж. Адамсом (J. Adams) и У. Леверье (U. Le Verrier) из анализа отклонений в движении планеты Уран. Трудности первоначально разработанных методов В. т. были обусловлены наличием в получающихся разложениях членов, содержащих время tвне знака синуса или косинуса. Вклад таких членов в ряд В. т. существен лишь за длительные промежутки времени (порядка столетий), но и в этом случае невозможно строгое описание планетных движений в схеме В. т.- приемлемым является только первое приближение. Появление так наз. секудярных членов обусловлено зависимостью частоты движения (обращения) исследуемой планеты от соответствующих частот других планет. Учет такого рода зависимости и приводит к возникновению в решениях как секулярных (вида ), так и смешанных (вида ) членов. Напр., соотношение в схеме В. т. допускает следующее разложение по смешанный член в к-ром появляется в результате разложения колебания с частотой (1) по колебаниям с частотой w0. Создание специальных методов В. т., устраняющих секулярные члены, т. е. позволяющих представить решение в чисто тригонометрич. виде, связано с работами Линдштедта (Lindstedt), П. Гульдина (P. Guldin), Ш. по степеням возмущения . Тогда для возмущения n-состояния В. т. дает следующий результат: Здесь — матричный элемент оператора возмущения, определяемый согласно правилу : где — элемент объема. Условие применимости В. т. к таким задачам: нарушается в случае вырождения уровня энергии невозмущенной системы: вырожденному уровню энергии отвечает s состояний (s — кратность вырождения). В этом случае применяется нек-рая модификация В. т.: вначале учитывают влияние возмущения на вырожденные состояния, а влияние других уровней рассматривается как малое возмущение; строятся линейные комбинации s функций вырожденного состояния, причем для коэффициентов построенной комбинации получены уравнения вида Поправка к энергии находится из секулярного уравнения системы (9). Решения этого уравнения s-й степени представляют в (9) и находят и волновую функцию: соответствующую энергии после снятия вырождения. Поправки следующего порядка находят методами обычной В. т. В нестационарном случае задача В. т. ставится в терминах вероятностей перехода из состояния в состояние . В. т. может применяться в гейзенберговском, шрёдингеровском представлениях или же в представлении взаимодействия. В квантовой механике есть также принципиально другого типа задачи о нахождении так наз. рассеяния матрицы двух или нескольких частиц. В особенности такие задачи важны для квантовой электродинамики, где имеется малый параметр — постоянная тонкой структуры. Проблема вычисления вероятностей перехода сводится к исследованию гамильтониана вида: где — свободный гамильтониан, а — гамильтониан взаимодействия, к-рый по предположению включается в "отдаленном прошлом" и выключается в "отдаленном будущем". В представлении взаимодействия Шрёдингера уравнение имеет вид: Посредством замены переменных можно получить для состояния уравнение где Связь между начальными состояниями , описывающими "входящие" частицы, и конечными состояниями , описывающими "выходящие" частицы, формулируется в терминах так наз. оператора рассеяния S, определяемого соотношением вида: Формально решение уравнения (10) можно построить методом последовательных приближений в виде разложения по степеням малости взаимодействия: В квантовой теории поля справедлива аналогичная формула, в к-рую вместо входит соответствующая плотность лагранжиана, причем используется представление S-оператора через T-произведение: Действие оператора хронологического упорядочения Топределяется правилами: причем это Т- произведение формально не определено для совпадающих аргументов. Для преодоления такого рода трудностей, возникающих в методе В. т. в квантовой теории поля, созданы специальные методы регуляризации. Релятивистски инвариантная В. т. используется для вычисления так наз. S-матрицы, элементы к-рой определяют вероятности переходов между квантовыми состояниями различных полей под влиянием взаимодействия между ними. Лит.:[1] РоinсаreН., Les methodes nouvelles de la mdcanique celeste, P., t, 1-3, 1892-97; Пуанкаре А., Избр. труды, т. 1- 3, M., 1971-74; [2] Шарлье К., Небесная механика, пер. с нем., М., 1966; [3] Биркгоф Дж. Д., Динамические системы, пер. с англ., М.-Л., 1941; [4] Колмогоров А. Н., О динамических системах с интегральным инвариантом на торе, "Докл. АН СССР", 1953, т. 93, № 5; [5] Арнольд В. И., Математические методы классической механики, М., 1974; [6] Мозер Ю., Лекции о гамильтоновых системах, пер. с англ., М., 1973; [7] Боголюбов Н. Н., Крылов Н. М., в кн.: Збiрник праць з нелiнйноi механiки, К., 1937, с. 55-112; [8] их же, Введение в нелинейную механику, К., 1937; [9] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю.
Физический энциклопедический словарь:
Метод приближённого решения ур-ний, содержащих к.-л. малые параметры; в ур-ннях, описывающих физ. системы, В. т. используется в тех случаях, когда некрое воздействие на эту систему (возмущение) может считаться малым.
Метод В. т. состоит в том, что сначала находится более простое решение для «невозмущённой» системы, а затем с помощью этого решения вычисляются поправки, вносимые возмущением. «Подправленное» решение можно использовать для нахождения след. поправки и т. д. Таким образом, В. т. сводится к последовательному, поэтапному уточнению решения (отсюда другое назв. В. т.— метод последовательных приближений). Решение получается в виде ряда по степеням нек-рой безразмерной величины, характеризующей возмущение. Когда возмущение действительно мало, каждый последующий член данного ряда много меньше предыдущего, и поэтому можно ограничиться лишь первыми членами ряда (первыми поправками).
Исторически В. т. первоначально применялась в небесной механике для приближённого решения трёх тел задачи. Здесь роль невозмущённой задачи играет кеплерова задача для двух тел. Возмущение, вызываемое движением третьего тела, считается малым и описывается малыми членами ур-ний движения.
В. т. явл. одним из важных методов решения осн. ур-ния квант. механики — Шрёдингера уравнения и применяется во всех случаях, когда вз-ствие можно разбить на две части: основную, почти полностью определяющую состояние системы, и относительно менее существенную (возмущение), приводящую лишь к незначит. изменению этого состояния. Напр., решая задачу об атоме водорода, помещённом во внеш. электрич. поле (Штарка эффект), напряжённость к-рого много меньше напряжённости кулоновского поля ядра (в пределах атома), сначала пренебрегают воздействием внеш. поля, т. е. находят волн. ф-ции, уровни энергии и др. физ. величины для невозмущёиного атома, затем, используя «невозмущённые» волн. ф-ции, находят поправки к уровням, обусловленные воздействием внеш. поля. Иногда эту процедуру последоват. уточнения приходится проделывать неск. раз, подсчитывая поправки всё более высокого порядка.
Особое значение приобрела В. т. в квант. теории эл.-магн. поля (квант. электродинамике) для вычисления амплитуд разл. процессов. Способы точного решения ур-ний квант. Теории полей неизвестны. В то же время вычисления по В. т. приводят в квант. электродинамике к результатам, прекрасно согласующимся с опытом.
В кач-ве примера рассмотрим задачу о вз-ствии электрон-позитронного поля с эл.-магн. полем. Само это вз-ствие будем считать малым возмущением. В нулевом приближении, т. е. когда возмущение (вз-ствие полей) считается равным нулю, ч-цы, соответствующие этим полям (эл-ны и позитроны, фотоны), явл. свободными; иными словами, всё выглядит так, как если бы электрич. заряды эл-нов и позитронов обратились в нуль (вз-ствие отсутствует). Первое приближение наглядно соответствует следующему: все ч-цы движутся как свободные до нек-рой точки, в к-рой происходит их встреча и где в результате вз-ствия начальные ч-цы исчезают, а вместо них появляются новые ч-цы, к-рые от момента своего возникновения также движутся как свободные. Т. о., первое приближение учитывает лишь один акт вз-ствия, точнее, один акт вызванных вз-ствием превращений ч-ц. В следующих — во втором, третьем и т. д. приближениях учитывается соотв. два, три и т. д. акта вз-ствия.
Описание вз-ствия эл-нов, позитронов и фотонов по В. т. можно изобразить графически (такие графики
наз. Фейнмана диаграммами).
Напр., если свободный эл-н изображать сплошной, а фотон — волнистой линиями, то в первом приближении (в первом порядке по В. т.) испускание и поглощение фотона эл-ном даются графиками, изображёнными на рис. 1 и 2. (Реальные процессы такого типа запрещены, т. к. в них не выполняются одновременно законы сохранения энергии и импульса.) Процесс рассеяния фотонов на эл-нах — Комптон эффект — связан минимум с двумя актами вз-ствия: актом испускания и актом поглощения фото-
на эл-ном. Поэтому самый низкий порядок В. т., описывающий такой процесс, второй. Соответствующие графики на рис. 3 и 4 отличаются лишь временной последовательностью актов испускания и поглощения. График на рис. 3, напр., расшифровывается так: в нач. момент присутствует один эл-н и один фотон (причём каждая из ч-ц имеет определённые импульс, энергию, спин); в момент времени t1 фотон поглощается эл-ном, и эл-н переходит в новое состояние (или: исчезают обе нач. ч-цы, и возникает новая ч-ца — эл-н в отличном от начального, промежуточном, состоянии); в момент t2 этот эл-н испускает новый (рассеянный) фотон и сам переходит в кон. состояние (или: промежуточный эл-н поглощается, а вместо него возникают кон. эл-н и новый фотон). Т. к. промежуточный эл-н существует кон. время t2-t1, то появляется квант. неопределённость энергии D?=h/(t2-t1) (см. НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ СООТНОШЕНИЕ), к-рая и снимает запрет на соответствующий каждой из «вершин» графика (точек, в к-рых осуществляется вз-ствие ч-ц) акт испускания или поглощения фотона.
При вычислении амплитуды процесса, отвечающего к.-л. графику, по всем t1 и t2>t1 производится интегрирование; это отражает тот факт, что вз-ствие с одинаковой вероятностью может произойти в любой момент времени. Учёт каждого акта вз-ствия даёт вклад в амплитуду, пропорциональный электрич. заряду е. Поэтому разложение по В. т. можно назвать разложением по заряду. Вероятность процесса (равная квадрату модуля амплитуды процесса), к-рому отвечает график с n вершинами, пропорц. величине an, где a=е2/hc»1/137—постоянная тонкой структуры. Малость величины а по сравнению с единицей обычно рассматривается как аргумент, позволяющий отбрасывать высшие приближения В. т.
В. т. приводит к появлению бесконечно больших значений для нек-рых физ. величин; для устранения этих бесконечностей в квант. электродинамике разработан метод перенормировок. Вопрос о суммировании всех членов ряда, даваемых В. т., остаётся пока открытым.
© «СловоТолк.Ру» — толковые и энциклопедические словари, 2007-2020