Определение слова «ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ ЛОГИКА»

Большой энциклопедический словарь:

ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ ЛОГИКА — совокупность логических теорий, в которых изучаются способы рассуждений, не связанные с опровержениями; не содержит операции отрицания.

Большая советская энциклопедия:

Положительная логика
Логика, в которой приемлемыми считаются только рассуждения, не связанные с опровержениями, т. е. с обоснованиями ложности высказываний. Поскольку выражение «А — ложно» есть лишь иная форма выражения «не-А», в П. л. отказываются от любых способов введения отрицания, к числу которых относятся приёмы косвенных доказательств (См. Косвенное доказательство), в том числе доказательств от противного (См. Доказательство от противного), а также явные определения отрицания типа А = dfA (f, где — знак отрицания, — Импликация, а f — пропозициональная переменная или какое-либо «допустимое» абсурдное утверждение. П. л. можно назвать, таким образом, логикой без отрицания.
Логические законы (См. Логический закон), соответствующие правильным рассуждениям в П. л. (или же правила, кодифицирующие способы таких рассуждений), описываются и каталогизируются в соответствующих логических исчислениях (См. Логическое исчисление), из которых важнейшими являются положительное импликативное исчисление высказываний с единственной логической операцией (См. Логическая операция) — импликацией, и полное положительное исчисление высказываний с конъюнкцией (См. Конъюнкция), дизъюнкцией (См. Дизъюнкция), импликацией и эквиваленцией.
Положительное импликативное исчисление высказываний (подробно об исчислении высказываний см. в ст. Логика) задаётся с помощью двух аксиомных схем:
1. А (В A),
2. (A (В С)) ((А В) (А C)
и правила modus ponens; полное положительное исчисление высказываний — добавлением к схемам (1) и (2) следующих:
3. (А & В) А,
4. (A & В) В,
5. А (В (A & В)),
6. (A С) ((B С) ((А В) C)),
7. А (A B),
8. В (A B)
и определения эквиваленции как сокращения для выражения (А В) & (В А). Более сильные логические исчисления получаются из исчислений П. л. последовательным неконсервативным расширением (усилением) их систем аксиом или правил вывода. Так, присоединение к (1) и (2) аксиомной схемы
9. (А В) ((А В) А)
или соответствующего ей правила reductio ad absurdum даёт минимальную логику (См. Минимальная логика) Колмогорова (1925), а аналогичное добавление к полному положительному исчислению высказываний — минимальную логику Иохансона (1936). Присоединяя: к последней схему
10. А (А В)
(противоречие влечёт произвольное утверждение) и схему
11. А (А
(исключенного третьего принцип (См. Исключённого третьего принцип)), получают соответственно интуиционистскую и классическую логику высказываний.
Поскольку все законы П. л. имеют силу (доказуемы) в интуиционистской и классической логике (обратное, естественно, неверно), положительные исчисления обычно рассматривают как их подсистемы — вообще как «частичные системы». Существенно, однако, что положительные исчисления, взятые «сами по себе», и «те же» исчисления «внутри» более сильной логики — это исчисления с различной семантикой логических связок (операций), которая для первых детерминируется только их собственными аксиомами или правилами употребления связок, а для вторых наследуется от более сильной логики.
Лит.: Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, § 26; Расёва Е., Сикорский Р., Математика метаматематики, пер. с англ., М., 1972, гл. 1:1, §§ 2—6.
М. М. Новосёлов.

Смотреть другие определения →