Определение слова «Полная кривизна»

Большая советская энциклопедия:

Полная кривизна
Гауссова кривизна, одна из мер искривления поверхности в окрестности какой-либо её точки, равная произведению главных кривизн (см. Кривизна). Для плоскости (а также для любой развёртывающейся линейчатой поверхности) она обращается в нуль. Для сферы она постоянна и равна обратной величине квадрата радиуса сферы. В случае поверхности, имеющей вид автомобильной шины (тор), П. к. отрицательна в точках, прилегающих к колесу, и положительна в наружных точках.
Если окрестность данной точки Р на поверхности отобразить на сферу единичного радиуса, ставя в соответствие каждой точке окрестности конец радиуса, направленного так же, как вектор нормали к поверхности в рассматриваемой точке, то отношение площади полученной части сферы к площади окрестности на поверхности будет стремиться к П. к., если окрестность будет стягиваться к точке Р. Для того чтобы это утверждение было верным во всех случаях, нужно при подсчёте площадей на сфере приписывать им знаки + или — в зависимости от направления обхода границы на сфере при определённом направлении обхода области на поверхности.
П. к. остаётся неизменной при изгибании поверхности, т. е. при такой её деформации, при которой длины линий на поверхности не изменяются. См. Поверхностей теория.

Математическая энциклопедия:

1) П. к. в точке поверхности Ф в евклидовом пространстве — скалярная величина К, равная произведению главных (нормальных) кривизн k1 и k2, вычисляемых в точке поверхности: K=k1k2;наз. также гауссовой кривизной поверхности. Понятие П. к. обобщается для гиперповерхности в евклидовом пространстве П. к. в этом случае есть величина K=:k1. . .kn, где ki — главная нормальная кривизна в точке гиперповерхности в i-м главном направлении. П. к. в точке двумерной поверхности в трехмерном римановом пространстве равна разности внутренней кривизны — римановой кривизны двумерной поверхности, и внешней кривизны — римановой кривизны объемлющего пространства в направлении бивектора, касательного к поверхности в рассматриваемой точке. 2) П. к. области D на поверхности Ф в евклидовом пространстве — величина , где К — гауссова кривизна поверхности в точке, ds — элемент площади поверхности. Аналогично определяется П. к. области нек-рого риманова многообразия, причем под Кпонимается риманова кривизна многообразия, вычисляемая в точках многообразия в направлении касательных бивекторов, а интегрирование ведется но площади (мере) области многообразия. Л. А. Сидоров.

Смотреть другие определения →