Определение слова «Обратные тригонометрические функции»

Большой энциклопедический словарь:

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — общее название функций арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса, арксеканса, арккосеканса, каждая из которых выражает величину дуги (или угла) — соответствующей данному значению х тригонометрической функции, название которой получается отбрасыванием приставки "арк". Напр., арксинус (обозначается: arcsinx) обозначает дугу, синус которой равен х.

Большая советская энциклопедия:

Обратные тригонометрические функции
Аркфункции, круговые функции, решают следующую задачу: найти дугу (число) по заданному значению её тригонометрической функции. Шести основным тригонометрическим функциям соответствуют шесть О. т. ф.: 1) Arc sin х («арксинус x») — функция, обратная sin х; 2) Arc cos x («арккосинус x») — функция, обратная cos х; 3) Arc tg x («арктангенс x») — функция, обратная tg х; 4) Arc ctg x («арккотангенс x») — функция, обратная ctg x; 5) Arc sec x («арксеканс x») — функция, обратная sec x; 6) Arc cosec x («арккосеканс x») — функция, обратная cosec x. Согласно этим определениям, например, х = Arc sin a есть любое решение уравнения sin х = a, т.е. sin Arc sin a = a. Функции Arc sin x и Arc cos x определены (в действительной области) для |х| 1, функции Arc tg х и Arc ctg х — для всех действительных х, а функции Arc sec х и Arc cosec х:—для |х| 1; две последние функции малоупотребительны.
Так как тригонометрические функции периодические, то обратные к ним функции являются многозначными функциями. Определённые однозначные ветви (главные ветви) этих функций обозначаются так: arc sin х, arc cos x,..., arc cosec x. Именно, arc sin х есть та ветвь функции Arc sin х, для которой — /2 arc sin х /2. Аналогично, функции arc cos х, arc tg х и arc ctg х определяются из условий: 0 arc cos х , — /2 < arc tg x <</i> /2, 0 x <</i> . На рис. изображены графики функций у = Arc sin x, у = Arc cos x, у = Arc tg x, у = Arc ctg x; главные Arc cos x = ± arc cos x +2n,ветви этих функций выделены жирной линией. О. т. ф. Arc sin х,... легко выражаются через arc sin x,..., например

n = 0, ±1, ±2, …
Известные соотношения между тригонометрическими функциями приводят к соотношениям между О. т. ф., например из формулы

вытекает, что

Производные О. т. ф. имеют вид

О. т. ф. могут быть представлены степенными рядами, например

эти ряды сходятся для —1 x 1.
О. т. ф. можно определить для произвольных комплексных значений аргумента; однако их значения будут действительными лишь для указанных выше значений аргумента. О. т. ф. комплексного аргумента могут быть выражены с помощью логарифмической функции, например
.
Лит.: Новоселов С. И., Обратные тригонометрические функции, 3 изд., М., 1950.

Смотреть другие определения →