Определение слова «Нормальное Пространство»

Математическая энциклопедия:

Топологическое пространство, удовлетворяющее аксиоме (см. Отделимости аксиома), т. е. такое топологич. пространство, в к-ром одноточечные множества замкнуты и любые два дизъюнктные замкнутые множества отделимы окрестностями (т. е. содержатся в дизъюнктных открытых множествах). Н. п. образуют частный случай вполне регулярных пространств (тихоновских), особенно важный для размерности теории. Всякое замкнутое подпространство Н. п. нормально (нормальность наследуется по замкнутым множествам). Пространства, все подпространства к-рых нормальны, наз. наследственно нормальными. Для наследственной нормальности достаточно, чтобы все его открытые подпространства были Н. п. Для наследственной нормальности пространства необходимо и достаточно, чтобы были отделимы окрестностями всякие два множества, из к-рых ни одно не содержит точек соприкосновения другого. Н. п. наз. совершенно нормальным, если в нем каждое замкнутое множество является пересечением счетного числа открытых множеств. Всякое совершенно Н. п. есть наследственно Н. п. Произведение двух Н. п. не обязано быть Н. п., и даже произведение Н. п. на отрезок может быть не нормальным. Существуют важные классы пространств, более общие, чем нормальные, и менее общие, чем вполне регулярные. Среди этих пространств, близких к нормальным, первыми [2] были т. н. кваз и нормальные, или я-нормальпые, пространства. Это — тихоновские пространства, в к-рых отделимы окрестностями всякие два дизъюнктные p-множества, т. е. множества, являющиеся пересечением копечного числа замкнутых канонических множеств. Тихоновские пространства, в к-рых отделимы окрестностями всякие два дизъюнктные замкнутые канонич. множества, наз. -нормальным и [3];c-нормальные пространства, в к-рых каждое замкнутое канонич. множество является пересечением счетного числа открытых канонич. множеств, наз. совершенно c-н ормальными. Классы тихоновских c-нормальных, квазинормальных и, наконец, совершенно c-нормальных пространств идут последовательно убывая, причем никакие два из этих классов не совпадают между собою. Лит.:[1] Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [2] 3айцев В. И., "Вестн. Моск. ун-та. Матем., механ.", 1967, № 3, с. 48-57; [3] Щепин Е. В., "Сиб. матем. ж.", 1972, т. 13, №5, с. 1182-1196. П. С. Александров.

Смотреть другие определения →