Определение слова «Неприводимый Многочлен»

Большой энциклопедический словарь:

НЕПРИВОДИМЫЙ МНОГОЧЛЕН — многочлен, не разлагающийся на множители более низкой степени. Возможность разложить многочлен на множители (и свойство неприводимости) зависит от того, какие числа допускаются в качестве коэффициента многочлена. Так, многочлен х3 + 2 неприводим, если в качестве коэффициента допускать только рациональные числа, но разлагается в произведение двух неприводимых многочленов и — если в качестве коэффициента брать любые действительные числа.

Большая советская энциклопедия:

Неприводимый многочлен
Многочлен, не разлагающийся на множители более низкой степени. Возможность разложить многочлен на множители (и свойство неприводимости) зависит от того, какие числа допускаются в качестве коэффициентов многочлена. Так, многочлен x3 + 2 неприводим, если в качестве коэффициентов допускать только рациональные числа, но разлагается в произведение двух Н. м.

если в качестве коэффициентов брать любые действительные числа, и в произведение трёх множителей

если коэффициентами будут числа комплексные. В общем случае понятие неприводимости определяется для многочленов с коэффициентами, принадлежащими произвольному полю (см. Поле алгебраическое). Часто Н. м. называют многочлен с рациональными коэффициентами, не разлагающийся на множители более низкой степени также с рациональными коэффициентами.
Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968.

Математическая энциклопедия:

Многочлен от ппеременных над полем к, являющийся простым элементом кольца т. е. непредставимый в виде произведения , где gи h- многочлены с коэффициентами из k, отличные от константы (неприводимость над k). Многочлен наз. абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраич. замыканием поля коэффициентов. Абсолютно Н. м. одной переменной — это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно Н. м. сколь угодно высокой степени, напр, любой многочлен вида абсолютно неприводим. Кольцо многочленов факториально: любой многочлен разлагается в произведение Н. м., причем это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей. Над полем действительных чисел любой Н. м. одной переменной имеет степень 1 или 2, причем многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант. Над любым полем алгебраич. чисел существуют Н. м. сколь угодно высокой степени; напр., многочлен , где и — нек-рое простое число, неприводим в силу критерия Эйзенштейна (см. Алгебраическое уравнение). Пусть А- целозамкнутое кольцо с полем частных кп — многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1. Если в , причем g(x)и h(х)имеют старший коэффициент 1, то Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности . Если степень многочлена совпадает со степенью многочлена и неприводим над полем частных области В, то не существует разложения где и отличны от константы. Напр., многочлен со старшим коэффициентом 1 прост в (и, следовательно, неприводим в ), если для нек-рого простого р неприводим многочлен , полученный из f(х)редукцией коэффициентов по модулю р. Лит.:[1] Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976; [2] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [3]3арисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1-2, М., 1963. Л. В. Кузьмин,

Смотреть другие определения →