Математическая энциклопедия:
Интегральное уравнение, для к-рого неверны те или иные Фредгольма теоремы. Иногда Н. и. у. наз. особым интегральным уравнением. Так, напр., интегральное уравнение Фурье имеет решение где а- произвольное положительное число; собственному значению уравнения (1) соответствует бесконечное множество линейно независимых решений, т. е. для уравнения (1) перестает быть справедливой теорема Фредгольма о том, что однородное уравнение имеет конечное число линейно независимых решений. В случае интегрального уравнения Лалеско — Пикара любое является собственным значением, а именно, любому положительному числу соответствуют два линейно независимых решения: Следовательно, для уравнения (2) перестает быть справедливой теорема Фредгольма о том, что множество собственных значений уравнения но более чем счетно. Подробно разработаны теории двух классов Н. и. у.: уравнений, в к-рых искомая функция содержится под знаком несобственного интеграла в смысле главного значения ( сингулярные интегральные уравнения);уравнения, в к-рых искомая функция содержится под знаком интегрального преобразования свертки ( интегральные уравнения типа свертки). Для таких уравнений, вообще говоря, нарушается равенство чисел линейно независимых решений однородных союзных (сопряженных) уравнений, а также альтернатива Фредгольма. Лит.:[1] Привалов И. И., Интегральные уравнения, 2 изд., М.- Л., 1937; [2] Петровский И. Г., Лекции по теории интегральных уравнений, 2 изд., М.- Л., 1951. См. также лит. при статьях Интегральное уравнение типа свертки и Сингулярные интегральные уравнения. Б. В. Хведелидзе.
© «СловоТолк.Ру» — толковые и энциклопедические словари, 2007-2020