Определение слова «Логарифмическая функция»

Большой энциклопедический словарь:

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, обратная показательной функции. Логарифмическая функция обозначается y ? lnx ее значение y, соответствующее значению аргумента x, называется натуральным логарифмом числа x. График логарифмической функции называется логарифмикой. Рассматриваются также логарифмические функции logax при произвольных основаниях а > 0, а ? 1.

Большая советская энциклопедия:

Логарифмическая функция
Функция, обратная к показательной функции (См. Показательная функция). Л. ф. обозначается
y = lnx; (1)
её значение y, соответствующее значению аргумента х, называется натуральным Логарифмом числа х. В силу определения соотношение (1) равносильно
х = еу (2)
(е — Неперово число). Т. к. ey > 0 при любом действительном у, то Л. ф. определена только при х > 0. В более общем смысле Л. ф. называют функцию
y = logaX,
где а > 0 (а 1) — произвольное основание логарифмов. Однако в математическом анализе особое значение имеет функция InX; функция logaX приводится к ней по формуле:
logax = MInX,
где М = 1/In а. Л. ф. — одна из основных элементарных функций (См. Элементарные функции); её график (рис. 1) носит название логарифмики. Основные свойства Л. ф. вытекают из соответствующих свойств показательной функции и логарифмов; например, Л. ф. удовлетворяет функциональному уравнению
Inx+lny = lnxy.
Для — 1 < х , 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:
ln(1 + x) = x
Многие интегралы выражаются через Л. ф.; например

,

.
Л. ф. постоянно встречается в математическом анализе и его приложениях.
Л. ф. была хорошо известна математикам 17 в. Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Л. ф., рассматривалась Дж. Непером (1614). Он представил зависимость между числами и их логарифмами с помощью двух точек, движущихся по параллельным прямым (рис. 2). Одна из них (У) движется равномерно, исходя из С, а другая (X), начиная движение из А, перемещается со скоростью, пропорциональной её расстоянию до В. Если положить СУ = у, ХВ = х, то, согласно этому определению, dx/dy = — kx, откуда .
Л. ф. на комплексной плоскости является многозначной (бесконечнозначной) функцией, определённой при всех значениях аргумента z 0 обозначается Lnz. Однозначная ветвь этой функции, определяемая как
Inz = Inz+ i arg z,
где arg z — Аргумент комплексного числа z, носит название главного значения Л. ф. Имеем
Lnz = lnz + 2ki, k = 0, ±1, ±2, ...
Все значения Л. ф. для отрицательных: действительных z являются комплексными числами. Первая удовлетворительная теория Л. ф. в комплексной плоскости была дана Л. Эйлером (1749), который исходил из определения
.

Рис. 1 к ст. Логарифмическая функция.

Рис. 2 к ст. Логарифмическая функция.

Математическая энциклопедия:

Функция, обратная к показательной функции. Л. ф. обозначается ее значение у, соответствующее значению аргумента х, наз. натуральным логарифмом числа х. В силу определения соотношение (1) равносильно Так как при любом действительном у, то Л. ф. определена только при x>0. В более общем смысле Л. ф. наз. функцию где — произвольное основание логарифмов; эта функция выражается через ln хпо формуле: где M=1/ln a. Л. ф.- одна из основных элементарных функций; ее график (см. рис.) носит название л о г а р и ф м и к и. Основные свойства Л. ф. вытекают из соответствующих свойств показательной функции и логарифмов; напр., Л. ф. удовлетворяет функциональному уравнению Л. ф. y=ln хявляется строго возрастающей функцией, причем В каждой точке x>0 Л. ф. имеет производные всех порядков и в достаточно малой ее окрестности раскладывается в степенной ряд, т. е. является аналитической функцией. Для справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд: Производная Л. ф.: Многие интегралы выражаются через Л. ф.; напр.: Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Л. ф., рассматривалась Дж. Непером (J. Napier, 1614). Л. ф. на комплексной плоскости является многозначной (бесконечнозначной) функцией, определенной при всех значениях аргумента и обозначается ln z. Однозначная ветвь этой функции, определяемая как где arg z — главное значение аргумента комплексного числа z, носит название главного значения Л. ф. Имеем Все значения Л. ф. для отрицательных действительных z являются комплексными числами. Первая удовлетворительная теория Л. ф. в комплексной плоскости была дана Л. Эйлером (L.Euler, 1749), к-рый исходил из определения Лит.: [1] Н и к о л ь с к и й С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1, М., 1975: [2] М а р к у ш е в и ч А. И., Теория аналитических функций. 2 изд., т. 1, М., 1967. БСЭ-3.

Смотреть другие определения →